Question

如圖，拋物線y=(x-3)²-1與x軸交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，頂點(diǎn)為D了.

（1）求點(diǎn)A，B，D的坐標(biāo)；

（2）連接CD，過(guò)原點(diǎn)O作OE⊥CD，垂足為H，OE與拋物線的對(duì)稱軸交于點(diǎn)E，連接AE，AD.求證：∠AEO=∠ADC；

（3）以（2）中的點(diǎn)E為圓心，1為半徑畫(huà)圓，在對(duì)稱軸右側(cè)的拋物線上有一動(dòng)點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)P作⊙E的切線，切點(diǎn)為Q，當(dāng)PQ的長(zhǎng)最小時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)，并直接寫(xiě)出點(diǎn)Q的坐標(biāo).

Answer 1

（1）頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為（3，-1）.

令y=0，得(x-3)²-1=0，

解得x₁=3+，x₂=3-.

∵點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)，

∴A點(diǎn)坐標(biāo)(3-，0)，B點(diǎn)坐標(biāo)（3+，0）.

（2）過(guò)D作DG⊥y軸，垂足為G.

則G（0，-1），GD=3.

令x=0，則y=，∴C點(diǎn)坐標(biāo)為（0，）.

∴GC=-(-1)=.

設(shè)對(duì)稱軸交x軸于點(diǎn)M.

∵OE⊥CD，

∴∠GCD+∠COH=90°.

∵∠MOE+∠COH=90°，

∴∠MOE=∠GCD.

又∵∠CGD=∠OMN=90°，

∴△DCG∽△EOM.

∴.

∴EM=2，即點(diǎn)E坐標(biāo)為(3，2)，ED=3.

由勾股定理，得AE²=6，AD²=3，

∴AE²+AD²=6+3=9=ED².

∴△AED是直角三角形，即∠DAE=90°.

設(shè)AE交CD于點(diǎn)F.

∴∠ADC+∠AFD=90°.

又∵∠AEO+∠HFE=90°，

∴∠AFD=∠HFE，

∴∠AEO=∠ADC.

（3）由⊙E的半徑為1，根據(jù)勾股定理，得PQ²=EP²-1.

要使切線長(zhǎng)PQ最小，只需EP長(zhǎng)最小，即EP²最小.

設(shè)P坐標(biāo)為（x，y），由勾股定理，得EP²=(x-3)²+(y-2)².

∵y=(x-3)²-1，

∴(x-3)²=2y+2.

∴EP²=2y+2+y²-4y+4

     =(y-1)²+5.

當(dāng)y=1時(shí)，EP²最小值為5.

把y=1代入y=(x-3)²-1，得(x-3)²-1=1，

解得x₁=1，x₂=5.

又∵點(diǎn)P在對(duì)稱軸右側(cè)的拋物線上，

∴x₁=1舍去.

∴點(diǎn)P坐標(biāo)為(5，1).

此時(shí)Q點(diǎn)坐標(biāo)為（3，1）或().