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已知拋物線經(jīng)過點A(1,0)、B(3,0)、C(0,3),以AB為直徑畫圓.
(1)求此拋物線的解析式;
(2)求該圓與拋物線交點(除A、B外)坐標;
(3)以AB的中點O′為圓心畫圓,該圓的半徑r與此拋物線的交點個數(shù)有何關(guān)系(直接寫出結(jié)論)

【答案】分析:(1)可根據(jù)A、B的坐標用交點式的二次函數(shù)通式來設(shè)這個二次函數(shù),然后根據(jù)C的坐標來確定其解析式.
(2)可求E、F兩點中任何一個的坐標,以E點為例,過E作ED⊥AB于D,連接BE,先設(shè)出E點的坐標,如E點的坐標為(m,n),可用m、n表示出AD、DE、BD的長,根據(jù)射影定理可得出DE2=AD•DE,即可得出關(guān)于m、n的等量關(guān)系式,然后可依據(jù)E是拋物線上的點,將E的坐標代入拋物線的解析式中,可得出另外一個關(guān)于m、n的關(guān)系式,讓這兩個式子聯(lián)立,即可求出m,n的值,也就得出E點的坐標.
(3)可先求出圓O′與拋物線相切時的圓的半徑是多少.可設(shè)相切時,切點E的坐標為(m,n),可根據(jù)O′、E兩點的坐標,求出O′E的長度,也就得出了半徑的長,設(shè)半徑為r,那么就得出了關(guān)于r、m、n的等量關(guān)系式.又有E是拋物線上的點,可將E的坐標代入拋物線的解析式中,得出關(guān)于m,n的等量關(guān)系式,然后聯(lián)立兩式即可得出關(guān)于、r的方程.已知了此時圓與拋物線相切,因此有兩個切點.可根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得出此時r的值.然后根據(jù)這個半徑的值即可得出半徑在不同的取值范圍中,圓與拋物線的不同的位置關(guān)系,也就可得出了交點的個數(shù).
解答:解:(1)設(shè)拋物線的解析式為y=ax2+bx+c
∵此拋物線經(jīng)過點A(1,0)、B(3,0)、C(0,2)
∴a+b+c=0,9a+3b+c=0,c=3
∴a=1,b=-4,c=3
∴拋物線的解析式為y=x2-4x+3

(2)過E作ED⊥AB于D,連接BE
設(shè)交點E(m,n)則AD=m-1,BD=3-m,DE=-n
∵AB為圓的直徑
∴∠AEB=90°
∴∠EAB+∠ABE=90°
∵ED⊥AB
∴∠ADE=∠EDB=90°
∴∠DEB+∠ABE=90°
∴∠DEB=∠EAB
∴△ADE∽△EDB
==
∴m2-4m+3=-n2
又∵E(m,n)在拋物線y=x2-4x+3
∴n=m2-4m+3
∴n=-n2
∴n=-1或n=0(不合題意舍去)
∴m=2
∴該圓與拋物線交點坐標為(2,1)

(3)設(shè)當拋物線與圓相切時E(m,n),則O′E2=(2-m)2+(-n)2
∴r2=(2-m)2+(-n)2
又∵E(m,n)在拋物線y=x2-4x+3
∴n=m2-4m+3=(m-2)2-1
∴r2=(2-m)2+((m-2)2-1)2
∴(m-2)4-(m-2)2+1-r2=0
∵當拋物線與圓相切時只有兩個交點
∴m只有兩個正數(shù)解
∵方程(m-2)4-(m-2)2+1-r2=0中m-2的兩個解均為正數(shù)
∴此方程的b2-4ac=0
∴r=∵當r=1時有三個交點
∴當0<r<時無交點;
當r=或r>1時有兩個交點;
當r=1時有三個交點;
<r<1時有四個交點.
點評:本題結(jié)合圓的知識考查了二次函數(shù)的綜合應用,運用數(shù)形結(jié)合的方法進行解答是本題的基本思路.
練習冊系列答案
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(1)求此拋物線的解析式;
(2)求該圓與拋物線交點(除A、B外)坐標;
(3)以AB的中點O′為圓心畫圓,該圓的半徑r與此拋物線的交點個數(shù)有何關(guān)系(直接寫出結(jié)論)

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精英家教網(wǎng)如圖,已知拋物線經(jīng)過點A(-3,0),B(0,3),C(2,0)三點.
(1)求此拋物線的解析式;
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(1)求拋物線的解析式和對稱軸;
(2)點P在拋物線上,且以A、O、M、P為頂點的四邊形四條邊的長度為四個連續(xù)的正整數(shù),請你直接寫出點P的坐標;
(3)連接AC.探索:在直線AC下方的拋物線上是否存在一點N,使△NAC的面積最大?若存在,請你求出點N的坐標;若不存在,請你說明理由.

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同步練習冊答案
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