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已知:關于x的方程kx2-(2k-1)x+k-1=0(k為整數)的根為整數,雙曲線y=(x>0)過梯形OABC的頂點A和腰BC中點M,∠BCO=90°.求四邊形OABC的面積.

【答案】分析:分類討論:當k=0,方程變形為:x-1=0,解得x=1;當k≠0,先運用因式分解法解一元二次方程得到x1=,x2=1,由于關于x的方程kx2-(2k-1)x+k-1=0(k為整數)的根為整數,則由x1==1-得到k=1,得到雙曲線的解析式為y=,設M點坐標為(a,b),易得C點坐標為(a,0),B點坐標為(a,2b),則A點的縱坐標為2b,當點A在雙曲線y=上,所以A點坐標為(,2b),然后根據梯形面積公式進行計算,四邊形OABC的面積=(AB+OC)•BC=(a-+a)×2b=2ab-1,ab=2,可計算出面積;當點A在雙曲線y=上,則A點坐標為(,2b),四邊形OABC的面積=(AB+OC)•BC
=2ab-,然后把ab=1代入計算.
解答:解:當k=0,方程變形為:x-1=0,解得x=1;
當k≠0,
∵[kx-(k-1)](x-1)=0,
∴x1=,x2=1,
∵關于x的方程kx2-(2k-1)x+k-1=0(k為整數)的根為整數,
而x1==1-,
∴k=1,
∴雙曲線的解析式為y=或y=,
設M點坐標為(a,b),
∵四邊形OACB為梯形,∠BCO=90°,且M為BC的中點,
∴C點坐標為(a,0),B點坐標為(a,2b),
∴A點的縱坐標為2b,
當點A在雙曲線y=上,
∴當y=2b時,x=
∴A點坐標為(,2b),
∴四邊形OACB的面積=(AB+OC)•BC
=(a-+a)×2b
=2ab-1
當k=1,ab=2,四邊形OACB的面積=4-1=3;
當點A在雙曲線y=上,
A點坐標為(,2b),
∴四邊形OACB的面積=(AB+OC)•BC
=(a-+a)×2b
=2ab-
當k=0,ab=1,四邊形OACB的面積=2-=
∴四邊形OABC的面積為3或
點評:本題考查了反比例函數綜合題:點在反比例函數圖象上,點的橫縱坐標滿足圖象的解析式;平行于x軸的直線上所有點的縱坐標相同;平行于y軸的直線上所有點的橫坐標相同;運用梯形的面積確定線段平行關系和計算面積;運用因式分解法解一元二次方程;分類討論的思想方法在解題常用到.
練習冊系列答案
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科目:初中數學 來源: 題型:

已知:關于x的方程mx2-3(m-1)x+2m-3=0.
(1)求證:m取任何實數量,方程總有實數根;
(2)若二次函數y1=mx2-3(m-1)x+2m-3的圖象關于y軸對稱;
①求二次函數y1的解析式;
②已知一次函數y2=2x-2,證明:在實數范圍內,對于x的同一個值,這兩個函數所對應的函數值y1≥y2均成立;
(3)在(2)條件下,若二次函數y3=ax2+bx+c的圖象經過點(-5,0),且在實數范圍內,對于x的同一個值,這三個函數所對應的函數值y1≥y3≥y2均成立,求二次函數y3=ax2+bx+c的解析式.

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科目:初中數學 來源: 題型:

17、已知:關于x的方程x2+2x=3-4k有兩個不相等的實數根(其中k為實數)
(1)則k的取值范圍是
k<1
;
(2)若k為非負整數,則此時方程的根是
-3或1

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科目:初中數學 來源: 題型:

3、已知:關于x的方程x2-kx-2=0.
(1)求證:方程有兩個不相等的實數根;
(2)設方程的兩根為x1,x2,如果2(x1+x2)>x1x2,求k的取值范圍.

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科目:初中數學 來源: 題型:

已知:關于x的方程ax2-(1-3a)x+2a-1=0,求證:a取任何實數時,方程ax2-(1-3a)x+2a-1=0總有實數根.

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已知:關于x的方程x2+kx-12=0,求證:方程有兩個不相等的實數根.

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