Question

【題目】如圖，在等腰直角三角形中，，點(diǎn)在邊上，且，點(diǎn)為邊上的任意一點(diǎn)(不與點(diǎn)，重合)，把沿折疊，當(dāng)點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)落在的邊上時，的長為________.

Answer 1

【答案】或

【解析】

分兩種情況：當(dāng)A′點(diǎn)在邊AC上時，得△AQP為等腰直角三角形，可求出AQ的長度；當(dāng)A′點(diǎn)在邊BC上時，得PQ垂直平分AA′交于點(diǎn)D，易求AD的長，再通過解直角三角形ADQ可示AQ的長.

①當(dāng)A′點(diǎn)在邊AC上時，如圖，

∵PB=1，AB=3，

∴AP=2，

由折疊得△AQP為等腰直角三角形，

∴AQ=；

②當(dāng)A′點(diǎn)在邊BC上時，如圖，

由折疊得，PQ垂直平分AA′，P A′=PA=2

在Rt△PBA′中，BA′=

在Rt△ABA′中，AA′=

∵sin∠BAA′=

∴∠BAA′=30°,

在Rt△APD中，∠BAA′=30°，AP=2

∴DP=1，

∴AD=，

∵△ABC是等腰直角三角形，

∴∠BAC=45°，

∴∠DAQ=15°.

在AD上取G取一點(diǎn)F，連接QF，使QF=AF，則∠DFQ=30°，

設(shè)QD=a，則QF=2a，由勾股定理得FD=，

∴AD=2a+,

∴2a+=，解得，a=2-3

在Rt△ADQ中，由勾股定理得，AQ=

∴AQ=.

故答案為：或