Question

（一）小明在玩積木游戲時，把三個正方形積木擺成一定的形狀，正視圖如圖①，
問題（1）：若此中的三角形△DEF為直角三角形，P的面積為9，Q的面積為15，則M的面積為

 

．
問題（2）：若P的面積為36cm²，Q的面積為64 cm²，同時M的面積為100 cm²，則△DEF為

 

三角形．
（二）圖形變化：
Ⅰ如圖②，分別以直角三角形的三邊為直徑向三角形外作三個半圓，你能找出這三個半圓的面積之間有什么關系嗎？請說明理由．
Ⅱ如圖③，如果直角三角形兩直角邊的長分別為3和4，以直角三角形的三邊為直徑作半圓，你能利用上面中的結論求出陰影部分的面積嗎？

Answer 1

分析：（一）（1）根據正方形的面積公式結合勾股定理就可發(fā)現大正方形的面積是兩個小正方形的面積和；
（2）根據大正方形的面積等于兩個小正方形的面積和，可以得到其中兩條邊平方的和等于第三條邊的平方，即根據勾股定理的逆定理就可證明是直角三角形．
（二）I根據半圓的面積公式以及勾股定理就可發(fā)現：兩個小半圓的面積和等于大半圓的面積．
II根據上述結論就可發(fā)現：陰影部分的面積=直角三角形的面積．

解答：解：（一）∵P=DE²，Q=EF²，M=DF²，DE²+EF²=DF²，
∴M=P+Q=24；
∵M=P+Q，
即DE²+EF²=DF²，
∴△DEF是直角三角形；
故答案為：24；直角，

（二）I設直角三角形的邊從小到大分別是a，b，c．則a²+b²=c²．
兩邊同除以

π

8

，即得：兩小半圓的面積和等于大半圓的面積．
II根據I中的結論，得陰影部分的面積=S直角三角形的面積=

1

2

×3×4=6．

點評：注意：分別以直角三角形的邊作相同的圖形，則兩個小圖形的面積等于大圖形的面積．