Question

如圖，過點(diǎn)A（1，0）作x軸的垂線與直線y=x相交于點(diǎn)B，以原點(diǎn)O為圓心、OA為半徑的圓與y軸相交于點(diǎn)C、D，拋物線y=x²+px+q經(jīng)過點(diǎn)B、C．
（1）求p、q的值；
（2）設(shè)拋物線的對(duì)稱軸與x軸相交于點(diǎn)E，連接CE并延長(zhǎng)與⊙O相交于點(diǎn)F，求EF的長(zhǎng)；
（3）記⊙O與x軸負(fù)半軸的交點(diǎn)為G，過點(diǎn)D作⊙O的切線與CG的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)H．點(diǎn)H是否在拋物線上？說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)點(diǎn)A（1，0）作x軸的垂線與直線y=x相交于點(diǎn)B，從而求出B點(diǎn)的坐標(biāo)，以及C點(diǎn)的坐標(biāo)，將B，C分別代入即可求出p，q的值；
（2）運(yùn)用配方法求出二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)，再利用勾股定理求出CE的長(zhǎng)，由Rt△CFD∽R(shí)t△COE，求出EF的長(zhǎng)；
（3）首先求出直線CG為：y=-x-1，進(jìn)而求出點(diǎn)H的坐標(biāo)為（-2，1）．代入解析式即可．

解答：解：
（1）∵點(diǎn)A（1，0）作x軸的垂線與直線y=x相交于點(diǎn)B點(diǎn)，
∴B（1，1），
∵以原點(diǎn)O為圓心、OA為半徑的圓與y軸相交于點(diǎn)C、點(diǎn)A（1，0），
∴C（0，-1）．
代入y=x²+px+q，得，p=1，q=-1．

（2）由y=x²+x-1=（x+

1

2

）²-

5

4

，
得CE=

OE2+1

=

5

2

．
連接DF．由Rt△CFD∽R(shí)t△COE，
得

CD

CE

=

CF

CO

．
∴CF=

4 5

5

．
∴EF=CF-CE=

3 5

10

．

（3）設(shè)過點(diǎn)C、G的直線為y=kx+b．
將點(diǎn)C（0，-1），G（-1，0）代入，
得直線CG為：y=-x-1．
過點(diǎn)D作⊙O的切線與CG的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)H．
∵DH平行于x軸，∴點(diǎn)H的縱坐標(biāo)為1．
將y=1代入y=-x-1，得x=-2．
∴點(diǎn)H的坐標(biāo)為（-2，1）．
又當(dāng)x=-2時(shí)，y=x²+x-1=1，
∴點(diǎn)H在拋物線y=x²+x-1上．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了二次函數(shù)綜合應(yīng)用以及相似三角形的性質(zhì)與判定和待定系數(shù)法求函數(shù)解析式等知識(shí)，主要考查學(xué)生數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法．