Question

如圖，點(diǎn)A，B，C，D在⊙O上，AB=AC，AD與BC相交于點(diǎn)E，，延長(zhǎng)DB到點(diǎn)F，使，連接AF．

（1）證明：△BDE∽△FDA；

（2）試判斷直線AF與⊙O的位置關(guān)系，并給出證明．

 

Answer 1

【答案】

（1）證明見解析（2）AF與⊙O相切，證明見解析

【解析】解:（1）證明：在△BDE和△FDA中，∵FB＝BD，AE＝ED，∴。

又∵∠BDE＝∠FDA，∴△BDE∽△FDA。

（2）直線AF與⊙O相切。證明如下：

連接OA，OB，OC，

∵AB＝AC，BO＝CO，OA＝OA，

∴△OAB≌△OAC（SSS）。∴∠OAB＝∠OAC。

∴AO是等腰三角形ABC頂角∠BAC的平分線。

∴AO⊥BC。

∵△BDE∽FDA，得∠EBD＝∠AFD，∴BE∥FA。

∵AO⊥BE，∴AO⊥FA。∴直線AF與⊙O相切。

（1）因?yàn)椤螧DE公共，夾此角的兩邊BD：DF=ED：AD=2：3，由相似三角形的判定，可知△BDE∽△FDA。

（2）連接OA、OB、OC，證明△OAB≌OAC，得出AO⊥BC．再由△BDE∽FDA，得出∠EBD=∠AFD，則BE∥FA，從而AO⊥FA，得出直線AF與⊙O相切。