Question

(2006重慶課改，28)(10分)如圖1所示，一張三角形紙片ABC，∠ACB=90°，AC=8，BC=6．沿斜邊AB的中線CD把這張紙片剪成兩個(gè)三角形(如圖2所示)．將紙片沿直線(AB)方向平移(點(diǎn)A，，，B始終在同一條直線上)，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)B重合時(shí)，停止平移．在平移的過(guò)程中，與交于點(diǎn)E，與、分別交于點(diǎn)F、P．

圖1

圖2

(1)當(dāng)平移到如圖3所示的位置時(shí)，猜想圖中的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想；

圖3

(2)設(shè)平移距離為x，重疊部分的面積為y，請(qǐng)寫出y與x的函數(shù)關(guān)系式，以及自變量x的取值范圍；

(3)對(duì)于(2)中結(jié)論是否存在這樣的x，使得重疊部分面積等于原△ABC紙片面積的？若存在，請(qǐng)求出x的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

答案：略
解析：

(1)．(1分) 因?yàn)?/FONT>∥，所以． 又因?yàn)椤?/FONT>ACB=90°，CD是斜邊AB的中線， 所以DC=DA=DB，即． 所以，所以．(2分) 所以．同理：． 又因?yàn)?/FONT>，所以．所以．(3分) (2)因?yàn)樵?/FONT>RtΔABC中，AC=8，BC=6，所以由勾股定理，得AB=10．即． 又因?yàn)?/FONT>，所以 ．所以． 在中，到的距離就是ΔABC的AB邊上的高，為． 設(shè)的邊上的高為h，由探究，得，所以． 所以．．(5分) 又因?yàn)?/FONT>，所以． 又因?yàn)?/FONT>． 所以．(7分) 而． 所以(0≤x≤5)．(8分) (3)存在．當(dāng)時(shí)，即． 整理，得．解得，． 即當(dāng)或x=5時(shí)，重疊部分面積等于原ΔABC面積的．(10分)