Question

（2012•豐臺區(qū)一模）已知：關于x的一元二次方程：x²-2mx+m²-4=0．
（1）求證：這個方程有兩個不相等的實數(shù)根；
（2）當拋物線y=x²-2mx+m²-4與x軸的交點位于原點的兩側，且到原點的距離相等時，求此拋物線的解析式；
（3）將（2）中的拋物線在x軸下方的部分沿x軸翻折，其余部分保持能夠不變，得到圖形C₁，將圖形C₁向右平移一個單位，得到圖形C₂，當直線y=x+b（b＜1）與圖形C₂恰有兩個公共點時，寫出b的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)要證方程有兩個不相等的實數(shù)根，只要證出△=b²-4ac＞0，即可得出答案；
（2）利用二次函數(shù)的對稱性得出對稱軸是y軸，進而得出m的值即可；
（3）畫出翻轉后新的函數(shù)圖象，由直線y=x+b，b＜1確定出直線移動的范圍，求出b的取值范圍．

解答：（1）證明∵△=（-2m）²-4（m²-4）=16＞0．
∴該方程總有兩個不相等的實數(shù)根．

（2）由題意可知y軸是拋物線的對稱軸，
故-2m=0，
解得m=0．
∴此拋物線的解析式為y=x²-4．

（3）如圖，當直線y=x+b經過A（-1，0）時-1+b=0，
可得b=1，又因為b＜1，
故可知y=x+b在y=x+1的下方，
當直線y=x+b經過點B（3，0）時，3+b=0，則b=-3，
由圖可知符合題意的b的取值范圍為-3＜b＜1時，直線y=x+b；（b＜3）與此圖象有兩個公共點．

點評：本題考查了根的判別式以及二次函數(shù)的對稱性和由函數(shù)圖象確定坐標、直線與圖象的交點問題，綜合體現(xiàn)了數(shù)形結合的思想．