(2013•鄂爾多斯)如圖,△ABC中,∠ABC=∠ACB,以AC為直徑的⊙O分別交AB、BC于點(diǎn)M、N,點(diǎn)P在AB的延長線上,且∠CAB=2∠BCP.
(1)求證:PC是⊙O的切線;
(2)若∠PAC=60°,直徑AC=4
3
,求圖中陰影部分的面積.
分析:(1)首先連接AN,由以AC為直徑的⊙O,可得∠ANC=90°,又由AB=AC,AN⊥BC,可求得∠CAN=∠BCP,繼而證得∠ACP=90°,即可判定PC是⊙O的切線;
(2)連接ON,由AB=AC,∠BAC=60°,可得△ABC是等邊三角形,然后分別求得△OCN與扇形CON的面積,即可求得答案.
解答:(1)證明:連接AN,
∵AC為⊙O的直徑,
∴∠ANC=90°,
∴∠NAC+∠NCA=90°,
∵AB=AC,AN⊥BC,
∴∠BAN=∠CAN,
∵∠CAB=2∠BCP,
∴2∠CAN=2∠BCP,
∴∠CAN=∠BCP,
∴∠BCP+∠ACB=90°,
即∠ACP=90°,
∴AC⊥PC,
∴PC是⊙O的切線;                               

(2)連接ON,
∵AB=AC,∠BAC=60°,
∴△ABC是等邊三角形,
∴∠ACB=60°,
∵ON=OC,
∴△ONC是等邊三角形,
∴∠NOC=60°,
∴OC=NC=
1
2
AC=
1
2
×4
3
=2 
3
,
過點(diǎn)O作OE⊥NC于E,
∵sin∠ACB=
OE
OC
,
∴sin60°=
OE
2
3
,
∴OE=2
3
×
3
2
=3,
∵S△ONC=
1
2
NC•OE=
1
2
×2
3
×3=3
3
,S扇形=
60π×(2
3
)2
360
=2π,
∴S陰影=S扇形-S△ONC=2π-3
3
點(diǎn)評:此題考查了切線的判定、扇形的面積以及等邊三角形的判定與性質(zhì).此題難度適中,注意掌握輔助線的作法,注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.
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頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形,請直接寫出點(diǎn)D的坐標(biāo);
(3)若點(diǎn)P是拋物線第一象限上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),過點(diǎn)P作PM⊥x軸,垂足為M,是否存在點(diǎn)P,使得以P、M、A為頂點(diǎn)的三角形與△BOC相似?若存在,求出點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.

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