Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，點A的坐標為（m，m），點B的坐標為（n，﹣n），拋物線經(jīng)過A、O、B三點，連接OA、OB、AB，線段AB交y軸于點C．已知實數(shù)m、n（m＜n）分別是方程x2﹣2x﹣3=0的兩根．

（1）求拋物線的解析式；

（2）若點P為線段OB上的一個動點（不與點O、B重合），直線PC與拋物線交于D、E兩點（點D在y軸右側(cè)），連接OD、BD．

①當△OPC為等腰三角形時，求點P的坐標；

②求△BOD 面積的最大值，并寫出此時點D的坐標．

Answer 1

【答案】解：（1）解方程x2﹣2x﹣3=0，得 x1=3，x2=﹣1。

∵m＜n，∴m=﹣1，n=3。∴A（﹣1，﹣1），B（3，﹣3）。

∵拋物線過原點，設(shè)拋物線的解析式為y=ax2+bx。

∴，解得：。

∴拋物線的解析式為。

（2）①設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b。

∴，解得：。

∴直線AB的解析式為。

∴C點坐標為（0，）。

∵直線OB過點O（0，0），B（3，﹣3），∴直線OB的解析式為y=﹣x。

∵△OPC為等腰三角形，∴OC=OP或OP=PC或OC=PC。

設(shè)P（x，﹣x）。

（i）當OC=OP時，，解得（舍去）。

∴P1（）。

（ii）當OP=PC時，點P在線段OC的中垂線上，∴P2（）。

（iii）當OC=PC時，由，解得（舍去）。

∴P3（）。

綜上所述，P點坐標為P1（）或P2（）或P3（）。

②過點D作DG⊥x軸，垂足為G，交OB于Q，過B作BH⊥x軸，垂足為H．

設(shè)Q（x，﹣x），D（x，）．

S△BOD=S△ODQ+S△BDQ=DQOG+DQGH

=DQ（OG+GH）

=

=。

∵0＜x＜3，∴當時，S取得最大值為，此時D（）。

【解析】（1）首先解方程得出A，B兩點的坐標，從而利用待定系數(shù)法求出二次函數(shù)解析式即可。

（2）①首先求出AB的直線解析式，以及BO解析式，再利用等腰三角形的性質(zhì)得出當OC=OP時，當OP=PC時，點P在線段OC的中垂線上，當OC=PC時分別求出x的值即可。

②利用S△BOD=S△ODQ+S△BDQ得出關(guān)于x的二次函數(shù)，從而得出最值即可。