Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中放置一矩形ABCO，其頂點為A（0，1）、B（－3，1）、C（－3，0）、O（0，0）．將此矩形沿著過E（－，1）、

F（－，0）的直線EF向右下方翻折，B、C的對應(yīng)點分別為B′、C′

1.求折痕所在直線EF的解析式

2.一拋物線經(jīng)過B、E、B′三點，求此二次函數(shù)解析式；

3.能否在直線EF上求一點P，使得△PBC周長最��？如能，求出點P的坐標(biāo)；若不能，說明理由．

 

Answer 1

 

1.直線EF的解析式為y=x+4

2.二次函數(shù)的解析式為y=x²x－2

3.點P的坐標(biāo)為（ ， ）

解析:解：（1）設(shè)EF的解析式為y=kx+b,把E（－，1）、F（,0）的坐標(biāo)代入

1=－k+b             解得：k=

0=k+b                   b=4

所以，直線EF的解析式為y=x+4------------------------------------3分

(2)設(shè)矩形沿直線EF向右下方翻折，B、C的對應(yīng)點分別為B′、C′

∵BE=3-=2；∴B′E= BE=2--------------------4分

在Rt△AE B′中，根據(jù)勾股定理，求得： A B′＝3，∴B′的坐標(biāo)為（0，-2）----5分

設(shè)二次函數(shù)的解析式為：y=ax²+bx+c

把點B（－3，1）、E（－，1）、B′（0，-2）代入

-2=c                                 a=

3a－b+c=1                 解得： b=

27a－3b+c=1                       c=－2

∴二次函數(shù)的解析式為y=x²x－2------------------------------7分

（3）能，可以在直線EF上找到點P,連接C,交直線EF于點P，連接BP.

由于B′P=BP,此時，點P與C、B′在一條直線上，所以，BP+PC= B′P+PC的和最小，由于BC為定長，所以滿足△PBC周長最小。

設(shè)直線B′C的解析式為：y=kx+b

－2=b

0=－3k+b

所以，直線B′C的解析式為-------9分

又∵P為直線B′C和直線EF的交點，

∴          解得：  

     y=x+4                     

                                      

∴點P的坐標(biāo)為（ ， ）