Question

已知：G是⊙O的半徑OA的中點，OA=，GB⊥OA交⊙O于B，弦AC⊥OB于F，交BG于D，連接DO并延長交⊙O于E．下列結論：
①∠CEO=45°；②∠C=75°；③CD=2；④CE=．
其中一定成立的是

1. A.
   ①②③④
2. B.
   ①②④
3. C.
   ①③④
4. D.
   ②③④

Answer 1

A
分析：①據30°角所對的直角邊等于斜邊的一半，可得∠OBG=30°，∠BOG=60°；可求得∠OAF=30°，連接OC，證明OC⊥OD，可得△OCE為等腰直角三角形，可得∠CEO=45°；
②∠C=∠ECO+∠OCD，說明∠OCF=30°即可得出∠C=75°；
③利用直角△COD的余弦函數，由∠OCD=30°，可求出CD=2；
④利用直角三角形的勾股定理，在△CEO中，可求得CE=．
解答：解：∵G是⊙O的半徑OA的中點，OA=，
∴OG=，
∵OB=OC=OE=OA=，
∴OG=OB，
∴∠OBG=30°，∠BOG=60°，
∴∠A=30°，
∵DG=DG，∠DGO=∠DGA=90°，OG=GA，
∴△DGO≌△DGA（SAS），
∴∠DOG=30°；
同理可證得∠DOF=30°，
∴∠ODF=60°．
又∵同理可證△COF≌△AOF，
∴∠OCF=30°．
∴∠OCF+∠ODF=90°，
∴∠DOC=90°，
∴OC⊥OD，
又∵OC=OE，
∴∠OCE=∠CEO=45°，故①結論成立；
∴∠C=∠OCF+∠OCE=30°+45°=75°，故②結論成立；
∵在直角△COD中，=，
∵OC=，
∴CD=2，故③結論成立；
∵在直角△COE中，CE===，∴④結論成立；
綜上所述，故選A．
點評：本題為綜合考查題目，此類問題的解法是據已知條件，分別對每一個結論進行推理論證，最后得出結論來進行判斷．