如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,直線y=-2x+42交x軸與點(diǎn)A,交直線y=x于點(diǎn)B,拋物線y=ax2-2x+c分別交線段AB、OB于點(diǎn)C、D,點(diǎn)C和點(diǎn)D的橫坐標(biāo)分別為16和4,點(diǎn)P在這條拋物線上.
(1)求點(diǎn)C、D的縱坐標(biāo).
(2)求a、c的值.
(3)若Q為線段OB上一點(diǎn),且P、Q兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)都為5,求線段PQ的長.
(4)若Q為線段OB或線段AB上的一點(diǎn),PQ⊥x軸,設(shè)P、Q兩點(diǎn)之間的距離為d(d>0),點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)為m,直接寫出d隨m的增大而減小時(shí)m的取值范圍.

【答案】分析:(1)點(diǎn)C在直線AB:y=-2x+42上,將C點(diǎn)的橫坐標(biāo)代入即可求出C點(diǎn)的縱坐標(biāo),同理可知:D點(diǎn)在直線OB:y=x上,將D點(diǎn)的橫坐標(biāo)代入解析式即可求出D點(diǎn)的縱坐標(biāo);
(2)拋物線y=ax2-2x+c經(jīng)過C、D兩點(diǎn),列出關(guān)于a和c二元一次方程組,解出a和c即可;
(3)根據(jù)Q為線段OB上一點(diǎn),P、Q兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)都為5,則可以求出Q點(diǎn)的坐標(biāo),又知P點(diǎn)在拋物線上,求出P點(diǎn)的坐標(biāo),P、Q兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)的差的絕對值即為線段PQ的長;
(4)根據(jù)PQ⊥x軸,可知P和Q兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)相同,都為m,用含m的代數(shù)式分別表示P、Q兩點(diǎn)的坐標(biāo),求出B點(diǎn)的坐標(biāo),分兩種情況討論:①Q(mào)是線段OB上的一點(diǎn);②Q是線段AB上的一點(diǎn).分別求出d與m之間的函數(shù)解析式,根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì),即可求出d隨m的增大而減小時(shí)m的取值范圍.
解答:解:(1)∵點(diǎn)C在直線AB:y=-2x+42上,且C點(diǎn)的橫坐標(biāo)為16,
∴y=-2×16+42=10,即點(diǎn)C的縱坐標(biāo)為10;
∵D點(diǎn)在直線OB:y=x上,且D點(diǎn)的橫坐標(biāo)為4,
∴點(diǎn)D的縱坐標(biāo)為4;

(2)由(1)知點(diǎn)C的坐標(biāo)為(16,10),點(diǎn)D的坐標(biāo)為(4,4),
∵拋物線y=ax2-2x+c經(jīng)過C、D兩點(diǎn),
,
解得:
∴拋物線的解析式為y=x2-2x+10;

(3)∵Q為線段OB上一點(diǎn),縱坐標(biāo)為5,
∴Q點(diǎn)的橫坐標(biāo)也為5,
∵點(diǎn)P在拋物線上,縱坐標(biāo)為5,
x2-2x+10=5,
解得x1=8+2,x2=8-2
當(dāng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(8+2,5),點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(5,5),線段PQ的長為2+3;
當(dāng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(8-2,5),點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(5,5),線段PQ的長為2-3.
所以線段PQ的長為2+3或2-3;

(4)∵PQ⊥x軸,
∴P、Q兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)相同,都為m,
∴P(m,m2-2m+10),Q(m,m)(此時(shí)Q在線段OB上)或Q(m,-2m+42)(此時(shí)Q在線段AB上).

解得
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為(14,14).
①當(dāng)點(diǎn)Q為線段OB上時(shí),如圖所示,
在OD段,即當(dāng)0≤m<4時(shí),d=(m2-2m+10)-m=m2-3m+10=(m-12)2-8,d隨m的增大而減�。�
在BD段,即當(dāng)4≤m≤14時(shí),d=m-(m2-2m+10)=-m2+3m-10=-(m-12)2+8,
在對稱軸右側(cè),d隨m的增大而減小,即當(dāng)12<m≤14時(shí),d隨m的增大而減小.
則當(dāng)0≤m<4或12≤m≤14時(shí),d隨m的增大而減��;
②當(dāng)點(diǎn)Q為線段AB上時(shí),如圖所示,
在BC段,即當(dāng)14≤m<16時(shí),d=(-2m+42)-(m2-2m+10)=-m2+32,
在對稱軸右側(cè),d隨m的增大而減小,即當(dāng)14≤m<16時(shí),d隨m的增大而減小;
在CA段,即當(dāng)16≤m≤21時(shí),d=(m2-2m+10)-(-2m+42)=m2-32,
在對稱軸左側(cè),d隨m的增大而減小,m不滿足條件.
綜上所述,當(dāng)0≤m<4或12≤m<16時(shí),d隨m的增大而減小.
點(diǎn)評(píng):本題考查了二次函數(shù)的綜合題型,其中涉及到的知識(shí)點(diǎn)有運(yùn)用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式,函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征,平行于坐標(biāo)軸上的兩點(diǎn)之間的距離,二次函數(shù)的增減性,難度中等,解題關(guān)鍵是運(yùn)用數(shù)形結(jié)合及分類討論的思想.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,在平面直角坐標(biāo)中,四邊形OABC是等腰梯形,CB∥OA,OA=7,AB=4,∠COA=60°,點(diǎn)P為x軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),但是點(diǎn)P不與點(diǎn)0、點(diǎn)A重合.連接CP,D點(diǎn)是線段AB上一點(diǎn),連接PD.
(1)求點(diǎn)B的坐標(biāo);
(2)當(dāng)∠CPD=∠OAB,且
BD
AB
=
5
8
,求這時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2012•渝北區(qū)一模)如圖,在平面直角坐標(biāo)xoy中,以坐標(biāo)原點(diǎn)O為圓心,3為半徑畫圓,從此圓內(nèi)(包括邊界)的所有整數(shù)點(diǎn)(橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù))中任意選取一個(gè)點(diǎn),其橫、縱坐標(biāo)之和為0的概率是
5
29
5
29

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,在平面直角坐標(biāo)中,等腰梯形ABCD的下底在x軸上,且B點(diǎn)坐標(biāo)為(4,0),D點(diǎn)坐標(biāo)為(0,3),則AC長為
5
5

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,在平面直角坐標(biāo)xOy中,已知點(diǎn)A(-5,0),P是反比例函數(shù)y=
k
x
圖象上一點(diǎn),PA=OA,S△PAO=10,則反比例函數(shù)y=
k
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的解析式為( �。�
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,在平面直角坐標(biāo)中,四邊形OABC是等腰梯形,CB∥OA,OC=AB=4,BC=6,∠COA=45°,動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)O出發(fā),在梯形OABC的邊上運(yùn)動(dòng),路徑為O→A→B→C,到達(dá)點(diǎn)C時(shí)停止.作直線CP.
(1)求梯形OABC的面積;
(2)當(dāng)直線CP把梯形OABC的面積分成相等的兩部分時(shí),求直線CP的解析式;
(3)當(dāng)△OCP是等腰三角形時(shí),請寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)(不要求過程,只需寫出結(jié)果).

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同步練習(xí)冊答案
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