Question

【題目】 如圖,Rt△ABC 中,∠ACB=90 ,AC=6cm,BC=8cm,動點 P 從點 B 出發(fā),在 BA邊上以每秒 5cm 的速度向點 A 勻速運動,同時動點 Q 從點 C 出發(fā),在 CB 邊上以每秒 4cm 的 速度向點 B 勻速運動,運動時間為 t 秒(0<t<2)，連接 PQ.

(1)若△BPQ 與△ABC 相似，求 t 的值；

(2)當 t 為何值時，四邊形 ACQP 的面積最小，最小值是多少?

(3)連接 AQ，CP，若 AQ⊥CP，求 t 的值。

Answer 1

【答案】(1) ：當 t=1 或 t=時，△BPQ 與△ABC 相似;(2)18;(3) t=

【解析】

根據(jù)題意△BPQ∽△BAC 相似再結(jié)合題意列比式解答此問，先四邊形 ACQP 的面積式用含t的表達式表示出來，再求其最小值；過點 P 作 PM⊥BC 于點 M，設(shè) AQ 與 CP 相交于點 N，先證明△ACQ∽CMP，再利用結(jié)論求t值.

(1)①△BPQ∽△BAC 相似時，則

∵BP=5t，QC=4t，AC=6cm，BC=8cm，

∴，解得：t=1；

②△BPQ∽△BCA 相似時，

則,即，解得：t=

綜合上述：當 t=1 或 t=時，△BPQ 與△ABC 相似，

(2)作 PM⊥BC 于點 M.則△BPM∽△BAC，

∴,即，解得，PM=3t，

設(shè)四邊形 ACQP 的面積為 y,由題意得：y=×6×8(84t)×3t=6(t1)2+18

∴當 t=1 時，面積最小為 18.

(3)過點 P 作 PM⊥BC 于點 M，設(shè) AQ 與 CP 相交于點 N，則有 PB=3t，MC=84t，

∵∠NAC+∠NCA=90 ,∠PCM+∠NCA=90 ，∴∠NAC=∠PCM， 又∵∠ACQ=∠CMP=90 ，∴△ACQ∽CMP，

∴,即，解得：t=