Question

如圖甲，四邊形OABC的邊OA、OC分別在x軸、y軸的正半軸上，頂點(diǎn)在B點(diǎn)的拋物線交x軸于點(diǎn)A、D，交y軸于點(diǎn)E，連接AB、AE、BE．已知tan∠CBE＝，A(3，0)，D(－1，0)，E(0，3)．

(1)求拋物線的解析式及頂點(diǎn)B的坐標(biāo)；

(2)求證：CB是△ABE外接圓的切線；

(3)試探究坐標(biāo)軸上是否存在一點(diǎn)P，使以D、E、P為頂點(diǎn)的三角形與△ABE相似，若存在，直接寫(xiě)出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；

(4)設(shè)△AOE沿x軸正方向平移t個(gè)單位長(zhǎng)度(0＜t≤3)時(shí)，△AOE與△ABE重疊部分的面積為s，求s與t之間的函數(shù)關(guān)系式，并指出t的取值范圍．

Answer 1

答案：
解析：

解：由題意，設(shè)拋物線解析式為y＝a(x－3)(x＋1)． 　　將E(0，3)代入上式，解得：a＝－1． 　　∴y＝－x2＋2x＋3． 　　則點(diǎn)B(1，4)． 　　(2)證明：如圖1，過(guò)點(diǎn)B作BM⊥y于點(diǎn)M，則M(0，4)． 　　在Rt△AOE中，OA＝OE＝3， 　　∴∠1＝∠2＝45°，AE＝＝3． 　　在Rt△EMB中，EM＝OM－OE＝1＝BM， 　　∴∠MEB＝∠MBE＝45°，BE＝＝． 　　∴∠BEA＝180°－∠1－∠MEB＝90°． 　　∴AB是△ABE外接圓的直徑． 　　在Rt△ABE中，tan∠BAE＝＝＝tan∠CBE， 　　∴∠BAE＝∠CBE． 　　在Rt△ABE中，∠BAE＋∠3＝90°，∴∠CBE＋∠3＝90°． 　　∴∠CBA＝90°，即CB⊥AB． 　　∴CB是△ABE外接圓的切線． 　　(3)解：Rt△ABE中，∠AEB＝90°，tan∠BAE＝，sin∠BAE＝，cos∠BAE＝； 　　若以D、E、P為頂點(diǎn)的三角形與△ABE相似，則△DEP必為直角三角形； 　　①DE為斜邊時(shí)，P1在x軸上，此時(shí)P1與O重合； 　　由D(－1，0)、E(0，3)，得OD＝1、OE＝3，即tan∠DEO＝＝tan∠BAE，即∠DEO＝∠BAE 　　滿足△DEO∽△BAE的條件，因此O點(diǎn)是符合條件的P1點(diǎn)，坐標(biāo)為(0，0)． 　�、贒E為短直角邊時(shí)，P2在x軸上； 　　若以D、E、P為頂點(diǎn)的三角形與△ABE相似，則∠DEP2＝∠AEB＝90°，sin∠DP2E＝sin∠BAE＝； 　　而DE＝＝，則DP2＝DE÷sin∠DP2E＝÷＝10，OP2＝DP2－OD＝9 　　即：P2(9，0)； 　　③DE為長(zhǎng)直角邊時(shí)，點(diǎn)P3在y軸上； 　　若以D、E、P為頂點(diǎn)的三角形與△ABE相似，則∠EDP3＝∠AEB＝90°，cos∠DEP3＝cos∠BAE＝； 　　則EP3＝DE÷cos∠DEP3＝÷＝，OP3＝EP3－OE＝； 　　綜上，得：P1(0，0)，P2(9，0)，P3(0，－)． 　　(4)解：設(shè)直線AB的解析式為y＝kx＋b． 　　將A(3，0)，B(1，4)代入，得解得 　　∴y＝－2x＋6． 　　過(guò)點(diǎn)E作射線EF∥x軸交AB于點(diǎn)F，當(dāng)y＝3時(shí)，得x＝，∴F(，3)． 　　情況一：如圖2，當(dāng)0＜t≤時(shí)，設(shè)△AOE平移到△DNM的位置，MD交AB于點(diǎn)H，MN交AE于點(diǎn)G． 　　則ON＝AD＝t，過(guò)點(diǎn)H作LK⊥x軸于點(diǎn)K，交EF于點(diǎn)L． 　　由△AHD∽△FHM，得，即． 　　解得HK＝2t． 　　∴S陰＝S△MND－S△GNA－S△HAD＝×3×3－(3－t)2－t·2t＝－t2＋3t． 　　情況二：如圖3，當(dāng)＜t≤3時(shí)，設(shè)△AOE平移到△PQR的位置，PQ交AB于點(diǎn)I，交AE于點(diǎn)V． 　　由△IQA∽△IPF，得．即， 　　解得IQ＝2(3－t)． 　　∴S陰＝S△IQA－S△VQA＝×(3－t)×2(3－t)－(3－t)2＝(3－t)2＝t2－3t＋． 　　綜上所述：s＝．