Question

如圖所示，在梯形ABCD中，已知AB∥CD，AD⊥DB，AD＝DC＝CB，AB＝4．以AB所在直線為x軸，過D且垂直于AB的直線為y軸建立平面直角坐標系．

(1)求∠DAB的度數(shù)及A、D、C三點的坐標；

(2)求過A、D、C三點的拋物線的解析式及其對稱軸L．

(3)若P是拋物線的對稱軸L上的點，那么使△PDB為等腰三角形的點P有幾個？(不必求點P的坐標，只需說明理由)

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)DC∥AB，AD＝DC＝CB，∠CDB＝∠CBD＝∠DBA，0.5分 　　∠DAB＝∠CBA，∠DAB＝2∠DBA，1分 　　∠DAB＋∠DBA＝90，∠DAB＝60，1.5分 　　∠DBA＝30，AB＝4，DC＝AD＝2，2分 　　RtAOD，OA＝1，OD＝，2.5分 　　A(－1，0)，D(0，)，C(2，)．4分 　　(2)根據(jù)拋物線和等腰梯形的對稱性知，滿足條件的拋物線必過點A(－1，0)，B(3，0)，故可設(shè)所求為＝(＋1)(－3)　　6分 　　將點D(0，)的坐標代入上式得，＝． 　　所求拋物線的解析式為＝　　7分 　　其對稱軸L為直線＝1．8分 　　(3)PDB為等腰三角形，有以下三種情況： 　�、僖蛑本€L與DB不平行，DB的垂直平分線與L僅有一個交點P1，P1D＝P1B，P1DB為等腰三角形；9分 　　②因為以D為圓心，DB為半徑的圓與直線L有兩個交點P2、P3，DB＝DP2，DB＝DP3，P2DB，P3DB為等腰三角形； 　�、叟c②同理，L上也有兩個點P4、P5，使得BD＝BP4，BD＝BP5．10分 　　由于以上各點互不重合，所以在直線L上，使PDB為等腰三角形的點P有5個．11分