Question

如圖，AB為⊙O的直徑，C為⊙O上一點，D為CB延長線上一點，且∠CAD=45゜，CE⊥AB于點E，DF⊥AB于點F．
（1）求證：CE=EF；
（2）若DF=2，EF=4，求AC的長．

Answer 1

（1）證明：連接CF，
∵AB為⊙O的直徑，
∴∠ACB=90°，∵DF⊥AF，
∴∠AFD=90°，
所以∠ACD=∠AFD=90，
∴A，C，F(xiàn)，D四點共圓，
∴∠DCF=∠DAF，
∵∠CAD=45°，
∴∠CAB+∠DAF=45°，
即∠CAF+∠DCF=45°，
∵CE⊥AF，
∴∠CAE+∠ACE=90°，
∵∠ACE+∠ECB=90°，
∴∠CAB=∠ECB，
∴∠ECB+∠BCF=45°，
∵∠CEF=90°，
∴△CEF是等腰直角三角形，
∴CE=EF；

（2）解：過C作CM⊥DF，交DF的延長線于點M，得矩形CEFM，
∵CE=EF，
∴矩形CEFM是正方形，
∵EF=4，
∴CM=CE=FM=EF=4，
在Rt△CDM中，CD²=CM²+DM²，
∴CD=2，
∵∠CAD=45°，∠ACD=90°，
∴△ACD是等腰直角三角形，
∴AC=CD=2．
分析：（1）首先連接CF，易得A，C，F(xiàn)，D四點共圓，又由∠CAD=45゜，易證得△CEF是等腰直角三角形，即可得CE=EF；
（2）首先過C作CM⊥DF，交DF的延長線于點M，得矩形CEFM，繼而可得矩形CEFM是正方形，然后由勾股定理求得，即可求得答案．
點評：此題考查了圓周角定理、勾股定理以及等腰三角形的性質(zhì)．此題難度較大，注意掌握輔助線的作法，注意掌握數(shù)形結合思想的應用．