Question

【題目】如圖，已知AB是⊙O的直徑，過O點作OP⊥AB，交弦AC于點D，交⊙O于點E，且使∠PCA=∠ABC．

（1）求證：PC是⊙O的切線；
（2）若∠P=60°，PC=2，求PE的長．

Answer 1

【答案】
（1）解：連接OC，

∵AB是⊙O的直徑，

∴∠ACB=90°，

∴∠BCO+∠ACO=90°，

∵OC=OB，

∴∠B=∠BCO，

∵∠PCA=∠ABC，

∴∠BCO=∠ACP，

∴∠ACP+∠OCA=90°，

∴∠OCP=90°，

∴PC是⊙O的切線；

（2）解：∵∠P=60°，PC=2，∠PCO=90°，

∴OC=2 ，OP=2PC=4，

∴PE=OP﹣OE=OP﹣OC=4﹣2 ．

【解析】（1）PC與圓有公共點，要證切線，須連公共點和圓心，證這條半徑和PC垂直，須轉化∠ACP和∠OCA即可；（2）利用三角函數(shù)關系求出OP,減去半徑OE即可.