Question

【題目】我們定義：有一組鄰邊相等且有一組對(duì)角互補(bǔ)的凸四邊形叫做等補(bǔ)四邊形

（1）概念理解

①根據(jù)上述定義舉一個(gè)等補(bǔ)四邊形的例子：

②如圖1，四邊形ABCD中，對(duì)角線BD平分∠ABC，∠A+∠C＝180°，求證：四邊形ABCD是等補(bǔ)四邊形

（2）性質(zhì)探究：

③小明在探究時(shí)發(fā)現(xiàn)，由于等補(bǔ)四邊形有一組對(duì)角互補(bǔ)，可得等補(bǔ)四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)共圓，如圖2，等補(bǔ)四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，AB＝AD，則∠ACD　 　∠ACB（填“＞”“＜”或“＝“）；

④若將兩條相等的鄰邊叫做等補(bǔ)四邊形的“等邊”，等邊所夾的角叫做“等邊角”，它所對(duì)的角叫做“等邊補(bǔ)角”連接它們頂點(diǎn)的對(duì)角線叫做“等補(bǔ)對(duì)角線”，請(qǐng)用語(yǔ)言表述③中結(jié)論：　 　

（3）問(wèn)題解決

在等補(bǔ)四邊形ABCD中，AB＝BC＝2，等邊角∠ABC＝120°，等補(bǔ)對(duì)角線BD與等邊垂直，求CD的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）①正方形；②詳見(jiàn)解析；（2）③＝；④等補(bǔ)四邊形的“等補(bǔ)對(duì)角線”平分“等邊補(bǔ)角”；（3）CD的值為2或4．

【解析】

（1）①正方形是等補(bǔ)四邊形．②如圖1中，作DM⊥BA于M，DN⊥BC于N，則∠DMA＝∠DNC＝90°，證明△ADM≌△CDN（AAS），推出AD＝DC，即可解決問(wèn)題．

（2）③根據(jù)弦，弧，圓周角之間的關(guān)系解決問(wèn)題即可．④根據(jù)“等補(bǔ)對(duì)角線”，“等邊補(bǔ)角”等定義，利用③中結(jié)論即可解決問(wèn)題．

（3）分兩種情形：①如圖3﹣1中，當(dāng)BD⊥AB時(shí)．②如圖3﹣2中，當(dāng)BD⊥BC時(shí)，分別求解即可．

（1）①解：正方形是等補(bǔ)四邊形．

②證明：如圖1中，作DM⊥BA于M，DN⊥BC于N，則∠DMA＝∠DNC＝90°，

∵∠A+∠BCD＝180°，∠BCD+∠DCN＝180°，

∴∠A＝∠DCN，

∵BD平分∠ABC，

∴DM＝DN，

在△ADM和△CDN中，

，

∴△ADM≌△CDN（AAS），

∴AD＝DC，

∴四邊形ABCD是等補(bǔ)四邊形．

（2）③解：如圖2中，

∵AD＝AB，

∴＝，

∴∠ACD＝∠ACB．

故答案為＝．

④解：由題意，等補(bǔ)四邊形的“等補(bǔ)對(duì)角線”平分“等邊補(bǔ)角”．

故答案為等補(bǔ)四邊形的“等補(bǔ)對(duì)角線”平分“等邊補(bǔ)角”．

（3）解：如圖3﹣1中，當(dāng)BD⊥AB時(shí)，

∵∠ADC+∠ABC＝180°，∠ABC＝120°，

∴∠ADC＝60°，

∵∠ABD＝90°，

∴AD是⊙O的直徑，

∴∠ACD＝90°，

∴∠DAC＝∠DBC＝30°，

∵BA＝BC，∠ABC＝120°，

∴∠BAC＝∠ACB＝30°，

∴∠BAC＝∠BDC＝30°，

∴∠CBD＝∠CDB，

∴DC＝BC＝2．

如圖3﹣2中，當(dāng)BD⊥BC時(shí)，

∵∠DBC＝90°，

∴CD是⊙O的直徑，

∵BA＝BC，∠ABC＝120°，

∴∠BAC＝∠ACB＝30°，

∴∠BAC＝∠BDC＝30°，

∴CD＝2BC＝4，

綜上所述，滿足條件的CD的值為2或4．