Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，拋物線l1與x軸交于點A，B，與y軸交于點C，l1的解析式為y= x2﹣2，若將拋物線l1平移，使平移后的拋物線l2經過點A，對稱軸為直線x=﹣6，拋物線l2與x軸的另一個交點是E，頂點是D，連結OD，AD，ED．

（1）求拋物線l2的解析式；
（2）求證：△ADE∽△DOE；
（3）半徑為1的⊙P的圓心P沿著直線x=﹣6從點D運動到F（﹣6，0），運動速度為1單位/秒，運動時間為t秒，⊙P繞著點C順時針旋轉90°得⊙P1 ， 隨著⊙P的運動，求P1的運動路徑長以及當⊙P1與y軸相切的時候t的值．

Answer 1

【答案】
（1）

解：設拋物線l2的解析式為y= （x+a）2+c，

∵拋物線l2的對稱軸為x=﹣6，

∴a=6．

令l1的解析式y(tǒng)= x2﹣2=0，

解得：x=±2．

∴A點的坐標為（﹣2，0），B點的坐標為（2，0）．

將點A（﹣2，0）代入l2的解析式中，得 ×（﹣2+6）2+c=0，

解得：c=﹣8．

故拋物線l2的解析式為y= ﹣8

（2）

證明：令l2的解析式y(tǒng)= ﹣8=0，

解得x=﹣10，或x=﹣2，

故點E的坐標為（﹣10，0）．

由拋物線的對稱性可知△ADE為等腰三角形．

∵點O（0，0），點E（﹣10，0），點D（﹣6，﹣8），

∴OE=0﹣（﹣10）=10，OD= =10，

∴OE=OD，

即△OED為等腰三角形，

又∵∠DEA=∠OED，且兩者均為底角，

∴△ADE∽△DOE

（3）

解：過點C作CN⊥DF于點N，根據題意畫出圖形如圖所示．

點D旋轉后到達D′處，點F旋轉后到達F′處．

根據旋轉的性質可知D′F′=DF，

∵點D（﹣6，﹣8），點F（﹣6，0），

∴P1的運動路徑長為DF=8．

∵DF∥y軸，

∴D′F′∥x軸，

∴四邊形NCMD′為平行四邊，

∴D′M=NC．

∵l1的解析式為y= x2﹣2，

∴點C的坐標為（0，﹣2），

∴點N的坐標為（﹣6，﹣2），

∴NC=0﹣（﹣6）=6．

∵⊙P1的半徑為1，

∴當D′P1=D′M±1時，⊙P1與y軸相切，

此時D′P1=5，或D′P1=7．

∵⊙P的運動速度為1單位/秒，

∴⊙P1的運動速度為1單位/秒，

∴運算時間為5秒或7秒

【解析】（1）設拋物線l2的解析式為y= （x+a）2+c，由拋物線l1的解析式，可求出點A的坐標，由拋物線l2的對稱軸以及點A的坐標即可求出a、c的值，由此得出結論；（2）由拋物線的對稱性可知△DAE為等腰三角形，由l2的解析式可得出D點、E點坐標，根據兩點間的距離公式可求出OE=OD，由兩等腰三角形一個底角相等即可得出△ADE∽△DOE；（3）由旋轉的特性可知P1的運動路徑長與P的運動路徑長相等，由圓與直線相切可得出相切時D′P1的長度，由時間=路程÷速度即可得出結論．