Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，二次函數(shù)（a，b是常數(shù)）的圖象與x軸交于點(diǎn)A（﹣3，0）和點(diǎn)B（1，0），與y軸交于點(diǎn)C．動(dòng)直線y=t（t為常數(shù)）與拋物線交于不同的兩點(diǎn)P、Q．

（1）求a和b的值；

（2）求t的取值范圍；

（3）若∠PCQ=90°，求t的值．

 

Answer 1

【答案】

（1）

（2）t＞﹣4

（3）t=﹣2

【解析】

分析：（1）將點(diǎn)A、點(diǎn)B的坐標(biāo)代入二次函數(shù)解析式可求出a、b的值。

（2）根據(jù)二次函數(shù)及y=t，可得出方程，有兩個(gè)交點(diǎn)，可得△＞0，求解t的范圍即可。

（3）證明△PDC∽△CDQ，利用相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例，可求出t的值。

解：（1）將點(diǎn)A、點(diǎn)B的坐標(biāo)代入可得：，解得：。

（2）拋物線的解析式為，直線y=t，

聯(lián)立兩解析式可得：x²+2x﹣3=t，即x²+2x﹣（3+t）=0，

∵動(dòng)直線y=t（t為常數(shù)）與拋物線交于不同的兩點(diǎn)，

∴△=4+4（3+t）＞0，解得：t＞﹣4。

（3）∵y=x²+2x﹣3=（x+1）²﹣4，

∴拋物線的對(duì)稱軸為直線x=1。

當(dāng)x=0時(shí)，y=﹣3，∴C（0，﹣3）。

設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（m，t），則P（﹣2﹣m，t）。

如圖，設(shè)PQ與y軸交于點(diǎn)D，

則CD=t+3，DQ=m，DP=m+2。

∵∠PCQ=∠PCD+∠QCD=90°，∠DPC+∠PCD=90°，∴∠QCD=∠DPC。

又∠PDC=∠QDC=90°，∴△QCD∽△CDP。∴，即。

整理得：t²+6t+9=m²+2m。

∵Q（m，t）在拋物線上，∴t=m²+2m﹣3，即m²+2m=t+3。

∴t²+6t+9=t+3，化簡(jiǎn)得：t²+5t+6=0，解得t=﹣2或t=﹣3。

當(dāng)t=﹣3時(shí)，動(dòng)直線y=t經(jīng)過(guò)點(diǎn)C，故不合題意，舍去。

∴t=﹣2。