Question

如圖1，二次函數(shù)y=ax²+bx+c(a≠0)的圖像與x軸交于點(diǎn)A、點(diǎn)B，與y軸交于點(diǎn)C，且A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別是(4，0)、(0，－2)，tan∠BCO＝(1)求拋物線(xiàn)解析式；(2)點(diǎn)M為拋物線(xiàn)上一點(diǎn)，若以MB為直徑的圓與直線(xiàn)BC相切于點(diǎn)B，求點(diǎn)M的坐標(biāo)；(3) 如圖2，若點(diǎn)P是拋物線(xiàn)上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)Q是直線(xiàn)y=－x的動(dòng)點(diǎn)，是否存在以點(diǎn)P、Q、C、O為頂點(diǎn)且以O(shè)C為一邊的四邊形是直角梯形；如果存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

【解析】(1)利用A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)和tan∠BCO＝求拋物線(xiàn)解析式

(2)設(shè)點(diǎn)m(x,y),則由以MB為直徑的圓與直線(xiàn)BC相切于點(diǎn)B，說(shuō)明了點(diǎn)B為直徑的一個(gè)端點(diǎn)，另外，BC直線(xiàn)方程為y=2x+4,利用BM的中點(diǎn)就是圓心坐標(biāo)，BM垂直于CB，因此聯(lián)立方程組可得M的坐標(biāo)

（3）假設(shè)存在以點(diǎn)P、Q、C、O為頂點(diǎn)且以O(shè)C為一邊的四邊形是直角梯形

則有幾種情況的一種直角為C，直角為P，直角為O,直角為Q的情況，那么分情況討論求解，利用一組對(duì)邊平行，一個(gè)角為直角，進(jìn)行求解

 

Answer 1

(1)解：因?yàn)槎�次函�?shù)y=ax²+bx+c(a≠0)的圖像與x軸交于點(diǎn)A、點(diǎn)B，與y軸交于點(diǎn)C，且A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別是(4，0)、(0，－2)，tan∠BCO＝

所以C（0,4）設(shè)拋物線(xiàn)方程為

所以得到所求的解析式為

(2)解：設(shè)點(diǎn)m(x,y),則由以MB為直徑的圓與直線(xiàn)BC相切于點(diǎn)B，說(shuō)明了點(diǎn)B為直徑的一個(gè)端點(diǎn)，另外，BC直線(xiàn)方程為y=2x+4,利用BM的中點(diǎn)就是圓心坐標(biāo)（），且，BM垂直于CB，因此聯(lián)立方程組可得M 

(3)解：假設(shè)存在以點(diǎn)P、Q、C、O為頂點(diǎn)且以O(shè)C為一邊的四邊形是直角梯形

則有幾種情況的一種直角為C，直角為P，直角為O,直角為Q的情況 ，那么分情況討論求解，利用一組對(duì)邊平行，一個(gè)角為直角，進(jìn)行求解得到P₁(2,4)   P₂(－2,0)    P₃(4,0)    P₄(－4,－8)

(共5種情況，有兩種情況點(diǎn)P重合)