Question

如圖①所示,已知、為直線上兩點(diǎn),點(diǎn)為直線上方一動(dòng)點(diǎn),連接、,分別以、為邊向外作正方形和正方形,過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn),過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn).

 (1)如圖②,當(dāng)點(diǎn)恰好在直線上時(shí)(此時(shí)與重合),試說(shuō)明；

(2)在圖①中,當(dāng)、兩點(diǎn)都在直線的上方時(shí),試探求三條線段、、之間的數(shù)量關(guān)系,并說(shuō)明理由；

(3)如圖③,當(dāng)點(diǎn)在直線的下方時(shí),請(qǐng)直接寫(xiě)出三條線段、、之間的數(shù)量關(guān)系.(不需要證明)

 

Answer 1

【答案】

解：（1）在正方形中,∵， ，

∴ ………………………………………………………………1分

   又∵, ∴,∴,

∴  ……………………………………………………………………2分

又∵四邊形為正方形,∴,∴……3分

在與中,,

∴≌,∴………………4分

（2） ……………………………5分

過(guò)點(diǎn)作，垂足為，

由（1）知：≌，≌……………………………………6分

∴,,∴ ………………………8分

  （3）  …………………………………………………………………9分

(說(shuō)明:其它解法,仿此得分)

【解析】（1）由四邊形CADF、CBEG是正方形，可得AD=CA，∠DAC=∠ABC=90°，又由同角的余角相等，求得∠ADD₁=∠CAB，然后利用AAS證得△ADD₁≌△CAB，根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等，即可得DD₁=AB；

（2）首先過(guò)點(diǎn)C作CH⊥AB于H，由DD₁⊥AB，可得∠DD₁A=∠CHA=90°，由四邊形CADF是正方形，可得AD=CA，又由同角的余角相等，求得∠ADD₁=∠CAH，然后利用AAS證得△ADD₁≌△CAH，根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等，即可得DD₁=AH，同理EE₁=BH，則可得AB=DD₁+EE₁．

（3）證明方法同（2），易得AB=DD₁-EE₁．