作业宝如圖,E、F分別是AB、AC的中點(diǎn),延長(zhǎng)EF交∠ACD的平分線于點(diǎn)G.AG與CG有怎樣的位置關(guān)系?說明你的理由.

解:AG⊥CG,
理由:∵E、F分別是AB、AC的中點(diǎn),
∴EF是△ABC的中位線,AF=CF,
∴EF∥BC,
∴∠FGC=∠GCD.
∵CG平分∠ACD,
∴∠FCG=∠GCD,
∴∠FCG=∠FGC,
∴FG=FC.
又∵AF=CF,
∴FG是△ACG中AC邊上的中線,且FG=AC,
∴△AGC是直角三角形,
∴AG⊥CG.
分析:利用三角形中位線定理推知EF∥BC.所以利用平行線的性質(zhì)、三角形角平分線的性質(zhì)以及等腰三角形的判定證得FG=FC.又由AF=CF,則FG是△ACG中AC邊上的中線,且FG=AC,則△AGC是直角三角形.
點(diǎn)評(píng):本題考查了三角形中位線定理、直角三角形斜邊上的中線定理.一個(gè)三角形,如果一邊上的中線等于這條邊的一半,那么這個(gè)三角形是以這條邊為斜邊的直角三角形.該定理可以用來判定直角三角形.
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14、如圖,E、F分別是等腰△ABC的腰AB、AC的中點(diǎn).用尺規(guī)在BC邊上求作一點(diǎn)M,使四邊形AEMF為菱形.
(不寫作法,保留作圖痕跡)

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(1)若PC與⊙O相切,判斷△PCF的形狀,并證明.
(2)若D為弧AC的中點(diǎn),且
BC
AB
=
3
5
,DH=8,求⊙O的半徑.

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如圖,AB和AC分別是⊙O的直徑和弦,OD⊥AC于D點(diǎn),若OA=4,∠A=30°,則BD等于(  )

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已知:如圖,E、F分別是正方形ABCD邊BC、AD上的點(diǎn),且BE=DF
求證:(1)△ABE≌△CDF;
      (2)AE∥CF.

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