Question

如圖在直角梯形ABCD中，AB∥DC，∠B=90°，P為BC上一點(diǎn)． (1) 若∠APD=90°，找出圖中兩個相似的三角形，并加以證明； (2) 若AB=9，DC=4，P為BC的中點(diǎn)，∠APD=90°．求BC的長； (3) 在(2)的條件下，試探求以AD為直徑的圓與BC所在直線的位置關(guān)系，并予以證明．

Answer 1

答案：
解析：

(1)	如圖所示，△ABP∽△PCD證明：因?yàn)锳B∥DC∠B=90°，所以∠C=90°，又∠APD=90°．所以∠BAP＋∠APB=∠DPC＋∠APB，即∠BAP=∠DPC，所以△APB∽△PCD．
(2)	解：因?yàn)椤鰽BP∽△PCD，所以．又P為BC中點(diǎn)，所以BP=PC=6，BC=12
(3)	解：過D作DE⊥AB，垂足為E，則四邊形BCDE為矩形，DE=CB=12，在Rt△AED中，，設(shè)AD中點(diǎn)O，連結(jié)OP，由梯形中位線定理，得OP⊥BC，且，由切線的定義，得：以AD為直徑的圓與線段BC所在的直線相切．