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    如圖,矩形ABCD,M為CD中點(diǎn),點(diǎn)E在線段MC上運(yùn)動(dòng),GH垂直平分AE,垂足為O,分別交于AD、BC于點(diǎn)G、H,AB=3,BC=4.
    (1)求AE:GH;
    (2)設(shè)CE=x,四邊形AHEG的面積為y,求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式;當(dāng)y取最大值時(shí),判斷四邊形AHEG的形狀,并說(shuō)明理由.
    【答案】分析:(1)過(guò)H作HF⊥AD,先根據(jù)垂直證明∠EAD=∠GHF,然后證明△AED與△HGF相似,根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例列出比例式求解即可;
    (2)先表示出DE的長(zhǎng),在Rt△ADE中,利用勾股定理表示出AE,再根據(jù)AE、GH的比值表示出GH,然后即可求出四邊形AHEG的面積為y,根據(jù)x的取值范圍及二次函數(shù)的最值問(wèn)題即可求解,當(dāng)x=0時(shí)面積最大,也就是點(diǎn)C與點(diǎn)E重合時(shí),此時(shí)先證明△AOG與△EOH全等,根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等得到OG=OH,再根據(jù)對(duì)角線互相垂直平分的四邊形是菱形即可判斷.
    解答:解:(1)如圖,過(guò)H作HF⊥AD,
    則∠HFG=90°,
    ∵GH垂直平分AE,垂足為O,
    ∴∠AOG=90°,
    ∴∠EAD+∠AGO=90°,∠GHF+∠AGO=90°,
    ∴∠EAD=∠GHF,
    又∵∠HFG=∠D=90°,
    ∴△AED∽△HGF,
    =,
    ∵四邊形ABCD是矩形,AB=3,BC=4,
    ∴AD=BC=4,HF=AB=3,
    ∴AE:HG=4:3;

    (2)∵CE=x,
    ∴DE=3-x,
    在Rt△ADE中,AE===,
    ∴GH=,
    ∵GH垂直平分AE,
    ∴y=S△AGE+S△AHE=×AE×OG+×AE×OH
    =×AE×(OG+OH)
    =×AE×GH
    =××
    =(3-x)2+6,
    即y=(3-x)2+6,
    ∵M(jìn)為CD中點(diǎn),
    ∴0≤x≤1.5,
    ∴當(dāng)x=0時(shí),y取最大值,最大值為9.375,
    此時(shí)點(diǎn)E與點(diǎn)C重合,四邊形AHEG是菱形,
    理由如下:
    ∵AD∥BC,
    ∴∠OAG=∠OEH,
    ∵GH垂直平分AE,垂足為O,
    ∴OA=OE,∠AOG=∠EOH,
    在△AOG與△EOH中,

    ∴△AOG≌△EOH(ASA),
    ∴OG=OH,
    ∴AE與GH互相垂直平分,
    ∴四邊形AHEG是菱形(對(duì)角線互相垂直平分的四邊形是菱形).
    點(diǎn)評(píng):本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì),勾股定理,二次函數(shù)的最值問(wèn)題,線段垂直平分線的性質(zhì),以及菱形的判定,綜合性較強(qiáng),難度較大,但仔細(xì)分析也不難求解.
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    求證:BE=CF.

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    (1)求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式,并寫(xiě)出x的取值范圍;
    (2)若△PBQ的面積為18cm2,求運(yùn)動(dòng)時(shí)間;
    (3)求△PBQ的面積的最大值.

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    科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

    如圖,矩形ABCD的邊AB、BC的長(zhǎng)分別為4
    3
    cm和2
    6
    cm,E、F、G、H分別是矩形各邊的中點(diǎn),求四邊形EFGH的周長(zhǎng)和面積.

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