Question

在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠ACB=∠A′C′B′=90°．

（1）如圖1，分割線CD將Rt△ABC分割成兩個(gè)三角形△ADC和△BDC，且滿足∠BCD=∠B′．試在Rt△A′B′C′的內(nèi)部也作一條類似的分割線，使這條分割線把Rt△A′B′C′分得的兩個(gè)三角形分別與△ADC和△BDC相似，并說明你畫法的正確性（作圖工具不限，下同）； （2）請(qǐng)?jiān)趫D2中畫出與圖1中不同的兩條分割線，使得Rt△ABC被分得的兩個(gè)三角形與Rt△A′B′C′被分得的兩個(gè)三角形分別相似（直接畫出分割線，寫出相似三角形，不必說明理由）； （3）如圖3，已知任意△ABC和△A′B′C′，試分別在△ABC和△A′B′C′中畫1條或兩條分割線，使得△ABC被分得的若干個(gè)三角形分別與△A′B′C′被分得的若干個(gè)三角形相似（直接畫出分割線，相等的角分別在圖中用∠1、∠1′，∠2、∠2′，∠3、∠3′，……對(duì)應(yīng)地標(biāo)明，并寫出所有相似三角形，不必說明理由）． （4）由上面的操作，你得到什么一般性的經(jīng)驗(yàn)?

Answer 1

（1）如圖1，∠1=∠1′，作∠2′=∠2， 所以△ADC∽△C′D′A′和△BDC∽△C′D′B′，    由兩角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似即可證得； （2）如圖2，若△ABC∽△A′B′C′，可有多種方法分割， 這里不妨設(shè)∠ABC＞∠A′B′C′，在∠ABC的內(nèi)部作 ∠1=∠1′， 在∠B′A′C′的內(nèi)部作∠2′=∠2 (畫法不惟一) ， 則△ADB∽△A′D′B′和△BDC∽△A′D′C′； （3）如圖3，若△ABC∽△A′B′C′，可有多種方法分割， 這里不妨設(shè)∠ACB＞∠A′C′B′，∠B′A′C′＞∠BAC， 在∠ACB的內(nèi)部作∠1=∠1′，在∠B′A′C′的內(nèi)部作∠2′ =∠2， 因此△ADC∽△A′D′C′；這樣我們可以仿照（2）繼續(xù)將 △DBC和△A′B′D′進(jìn)行分割，作∠3=∠3′， ∠4′=∠4，這樣， △ADC∽△A′D′C′， △BED∽△D′E′BC′， △DEC∽△A′E′D′； (畫法不惟一) （4）由上面的操作可知，對(duì)任意兩個(gè)三角形，我們都可以通過 適當(dāng)?shù)姆椒▽⒚總�(gè)三角形分割成n(n≥2)個(gè)三角形，并且可 使這n對(duì)三角形一一相似