Question

如圖1，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=5，BC=3，點D在邊AB的延長線上，BD=3，過點D作DE⊥AB，與邊AC的延長線相交于點E，以DE為直徑作⊙O交AE于點F．

（1）求⊙O的半徑及圓心O到弦EF的距離；

（2）連接CD，交⊙O于點G（如圖2）．求證：點G是CD的中點．

 

Answer 1

【答案】

（1）3。2.4。

（2）證明見解析

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)勾股定理求出AC，證△ACB∽△ADE，得出，代入求出DE=6，AE=10，過O作OQ⊥EF于Q，證△EQO∽△EDA，代入求出OQ即可。

（2）連接EG，求出EG⊥CD，求出CF=ED，根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)求出即可。

解：（1）∵∠ACB=90°，AB=5，BC=3，∴由勾股定理得：AC=4。

∵AB=5，BD=3，∴AD=8。

∵∠ACB=90°，DE⊥AD，∴∠ACB=∠ADE。

∵∠A=∠A，∴△ACB∽△ADE。

∴，即�！郉E=6，AE=10。

∴⊙O的半徑為3。

過O作OQ⊥EF于Q，則∠EQO=∠ADE=90°，

∵∠QEO=∠AED，∴△EQO∽△EDA。

∴，即。

∴OQ=2.4，即圓心O到弦EF的距離是2.4。

（2）證明：連接EG，

∵AE=10，AC=4，∴CE=6�！郈E=DE=6。

∵DE為直徑，∴∠EGD=90°。

∴EG⊥CD。

∴點G為CD的中點。