Question

【題目】已知拋物線（，是常數(shù)，且），經(jīng)過點，，與軸交于點.

（Ⅰ）求拋物線的解析式；

（Ⅱ）若點是射線上一點，過點作軸的垂線，垂足為點，交拋物線于點，設點橫坐標為，線段的長為，求出與之間的函數(shù)關系式，并寫出相應的自變量的取值范圍；

（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，當點在線段上時，設，已知，是以為未知數(shù)的一元二次方程（為常數(shù)）的兩個實數(shù)根，點在拋物線上，連接，，，且平分，求出值及點的坐標.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ），；（Ⅲ）值為，點坐標為或.

【解析】

（Ⅰ）將點A和點B（3，0）坐標代入y=a+bx+3得到a和b的方程組，然后解方程求出a和b，即可得到拋物線的解析式；

（Ⅱ）先根據(jù)待定系數(shù)法求出直線BC的解析式，分當點P在線段CB上時，和點P在射線BN上時，兩種情況討論，點的橫坐標為，得出P點的坐標為（t，-t+3），Q點的坐標為（t，-t2+2t+3），就可以得出d與t之間的函數(shù)關系式而得出結論；

（Ⅲ）根據(jù)根的判別式就可以求出m的值，就可以求出方程的解而求得PQ和PH的值，延長MP至L，使LP=MP，連接LQ、LH，延長MP至L，使LP=MP，連接LQ、LH，就可以得出四邊形LQMH是平行四邊形，進而得出四邊形LQMH是菱形，由菱形的性質(zhì)就可以求出結論．

解：（Ⅰ）將代入，

得解得

∴拋物線的解析式為；

（Ⅱ）∵點的坐標為，

設直線的方程為，

將代入，得.

解得.

∴直線的方程為.

∵點的橫坐標為，且垂直于軸，

∴點的坐標為，點的坐標為.

①如圖，當點在線段上時，

.

②如圖，當點在射線上時，

.

∵，

∴

（Ⅲ）∵是的兩個實數(shù)根.

∴，即.

整理得：.

∴.

∴.

∴方程為.

解得.

∵與是的兩個實數(shù)根，

所以.

即.

∴.

如圖，延長至，使，連接，，

∵，，

∴四邊形是平行四邊形.

∴.

∴.

∵，

∴.

∴.

∴是菱形.

∴.

∴點的縱坐標與點縱坐標相等，都是.

在中，當時，.

∴.

解得.

綜上所述：值為，點坐標為或.