Question

已知：拋物線與x軸交于A（-2，0）、B（4，0），與y軸交于C（0，4）．
（1）求拋物線頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（2）設(shè)直線CD交x軸于點(diǎn)E，過點(diǎn)B作x軸的垂線，交直線CD于點(diǎn)F，將拋物線沿其對稱軸上下平移，使拋物線與線段EF總有公共點(diǎn)．試探究：拋物線向上最多可以平移多少個(gè)單位長度，向下最多可以平移多少個(gè)單位長度？

Answer 1

分析：（1）先設(shè)出過A（-2，0）、B（4，0）兩點(diǎn)的拋物線的解析式為y=a（x+2）（x-4），再根據(jù)拋物線與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)即可求出a的值，進(jìn)而得出此拋物線的解析式；
（2）先用待定系數(shù)法求出直線CD解析式，再根據(jù)拋物線平移的法則得到（1）中拋物線向下平移m各單位所得拋物線的解析式，再將此解析式與直線CD的解析式聯(lián)立，根據(jù)兩函數(shù)圖象有交點(diǎn)即可求出m的取值范圍，進(jìn)而可得到拋物線向下最多可平移多少個(gè)單位；同理可求出拋物線向上最多可平移多少個(gè)單位．

解答：解：（1）設(shè)拋物線解析式為y=a（x+2）（x-4），
∵C點(diǎn)坐標(biāo)為（0，4），
∴a=-

1

2

，（1分）
∴解析式為y=-

1

2

x²+x+4，
頂點(diǎn)D坐標(biāo)為（1，

9

2

）；（2分）

（2）直線CD解析式為y=kx+b．
則，

b=4 k+b= 9 2

，
∴

b=4 k= 1 2

，
∴直線CD解析式為y=

1

2

x+4，（3分）
∴E（-8，0），F(xiàn)（4，6），
若拋物線向下移m個(gè)單位，其解析式y(tǒng)=-

1

2

x²+x+4-m（m＞0），
由

y=- 1 2 x2+x+4-m y= 1 2 x+4

消去y，得-

1

2

x²+

1

2

x-m=0，
∵△=

1

4

-2m≥0，
∴0＜m≤

1

8

，
∴向下最多可平移

1

8

個(gè)單位．（5分）
若拋物線向上移m個(gè)單位，其解析式y(tǒng)=-

1

2

x²+x+4+m（m＞0），
方法一：當(dāng)x=-8時(shí)，y=-36+m，
當(dāng)x=4時(shí)，y=m，
要使拋物線與EF有公共點(diǎn)，則-36+m≤0或m≤6，
∴0＜m≤36；（7分）
方法二：當(dāng)平移后的拋物線過點(diǎn)E（-8，0）時(shí)，解得m=36，
當(dāng)平移后的拋物線過點(diǎn)F（4，6）時(shí)，m=6，
由題意知：拋物線向上最多可以平移36個(gè)單位長度，（7分）
綜上，要使拋物線與EF有公共點(diǎn)，向上最多可平移36個(gè)單位，向下最多可平移

1

8

個(gè)單位．

點(diǎn)評：本題考查的是二次函數(shù)的圖象與幾何變換，涉及到用待定系數(shù)法求一次函數(shù)與二次函數(shù)的解析式、二次函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題，有一定的難度．