Question

2．如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，CA=12$\sqrt{3}$cm，BC=12cm；動點P從點C開始沿CA以2$\sqrt{3}$cm/s的速度向點A移動，動點Q從點A開始沿AB以4cm/s的速度向點B移動，動點R從點B開始沿BC以 2cm/s的速度向點C移動．如果P、Q、R分別從C、A、B同時移動，移動時間為t（0＜t＜6）s．
（1）∠CAB的度數是30°；
（2）以CB為直徑的⊙O與AB交于點M，當t為何值時，PM與⊙O相切？
（3）寫出△PQR的面積S隨動點移動時間t的函數關系式，并求S的最小值及相應的t值；
（4）是否存在△APQ為等腰三角形？若存在，求出相應的t值；若不存在請說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據題意和正切的定義以及特殊角的三角函數值解答即可；
（2）連接OP，OM，根據切線的性質得到∠PMO=90°，證明Rt△PMO≌Rt△PCO，△OBM是等邊三角形，根據等邊三角形的性質和正切的概念解答；
（3）過點Q作QE⊥AC于點E，根據余弦的概念用t表示出QE，根據三角形的面積公式和二次函數的性質解答；
（4）分PQ₁=AQ₁=4t、AP=AQ₂=4t、PA=PQ₃=4t三種情況，作出輔助線，根據等腰三角形的性質計算即可．

解答 解：（1）∵∠C=90°，CA=12$\sqrt{3}$cm，BC=12cm，
∴tan∠CAB=$\frac{BC}{AC}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴∠CAB=30°，
故答案為：30°；
（2）如圖1，連接OP，OM．
當PM與⊙O相切時，有∠PMO=∠PCO=90°，
∵MO=CO，PO=PO，
∴Rt△PMO≌Rt△PCO，
∴∠MOP=∠COP；
由（1）知∠OBA=60°，
∵OM=OB，
∴△OBM是等邊三角形，
∴∠BOM=60°，
∴∠MOP=∠COP=60°，
∴CP=CO•tan∠COP=6•tan60°=$6\sqrt{3}$，
又∵$CP=2\sqrt{3}t$
∴$2\sqrt{3}$t=$6\sqrt{3}$
∴t=3，
即：t=3s時，PM與⊙O相切；
（3）如圖2，過點Q作QE⊥AC于點E，
∵∠BAC=30°，AQ=4t，
∴$QE=\frac{1}{2}AQ=2t$AE=AQ•cos∠BAC=4t•cos30°=$2\sqrt{3}t$，
∴${S_{△ACB}}=\frac{1}{2}•AC•CB=\frac{1}{2}•12\sqrt{3}•12=72\sqrt{3}$${S_{△AQP}}=\frac{1}{2}•AP•QE=\frac{1}{2}•（12\sqrt{3}-2\sqrt{3}t）•2t=（12\sqrt{3}-2\sqrt{3}t）•t$${S_{△QBR}}=\frac{1}{2}•BR•CE=\frac{1}{2}•BR•（AC-AE）=\frac{1}{2}•2t•（12\sqrt{3}-2\sqrt{3}t）$=$t•（12\sqrt{3}-2\sqrt{3}t）$${S_{△PCR}}=\frac{1}{2}•RC•CP=\frac{1}{2}•（12-2t）•2\sqrt{3}t$=$（12-2t）•\sqrt{3}t$；
∴S_△PQR=S_△ACB-S_△AQP-S_△QBR-S_△PCR
=$72\sqrt{3}-（12\sqrt{3}-2\sqrt{3}t）•t-t•（12\sqrt{3}-2\sqrt{3}t）-（12-2t）•\sqrt{3}t$
=$6\sqrt{3}{t^2}-36\sqrt{3}t+72\sqrt{3}$
=$6\sqrt{3}{（t-3）^2}+18\sqrt{3}$（0＜t＜6），
∴當t=3s時，${S_{△PQR最小值}}=18\sqrt{3}$cm²；
（4）存在．如圖3，分三種情況：
①PQ₁=AQ₁=4t時，過點Q₁作Q₁D⊥AC于點D，
則$AP=2AD=2A{Q_1}•COS∠A=4\sqrt{3}t$$CP=2\sqrt{3}t$，
∴$4\sqrt{3}t+2\sqrt{3}t=12\sqrt{3}$，
∴t=2；
②當AP=AQ₂=4t時，
∵$CP+AP=12\sqrt{3}$，
∴$2\sqrt{3}t+4t=12\sqrt{3}$$t=\frac{{6\sqrt{3}}}{{2+\sqrt{3}}}$=$（12\sqrt{3}-18）$，
③當PA=PQ₃=4t時，
過點P作PH⊥AB于點H，
AH=PA•cos30°=$（12\sqrt{3}-2\sqrt{3}t）•\frac{{\sqrt{3}}}{2}$=18-3tAQ₃=2•AH=36-6t，
∴36-6t=4t，
∴t=3.6，
綜上所述，當$t=2，3.6，（12\sqrt{3}-18）$s時，△APQ是等腰三角形．

點評 本題考查的是圓的有關知識，掌握切線的性質、全等三角形的判定和性質、等腰三角形的性質和函數解析式的確定方法是解題的關鍵，注意分情況討論思想的運用．