Question

3．某公司購(gòu)進(jìn)一種化工原料若干千克，價(jià)格為每千克30元，物價(jià)部門規(guī)定其銷售單價(jià)每千克不高于60元且不低于30元，經(jīng)市場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，日銷售量y（千克）是銷售單價(jià)x（元）的一次函數(shù)，且當(dāng)x=60時(shí)，y=80，當(dāng)x=50時(shí)，y=100．
（1）求y與x的函數(shù)解析式；
（2）求該公司銷售該原料日獲利w（元）與銷售單價(jià)x（元）之間的函數(shù)解析式；
（3）求當(dāng)銷售單價(jià)為多少元時(shí)，該公司日獲利最大？最大利潤(rùn)是多少元？

Answer 1

分析 （1）根據(jù)日銷售量y（千克）是銷售單價(jià)x（元）的一次函數(shù)，且當(dāng)x=60時(shí)，y=80，當(dāng)x=50時(shí)，y=100，可以求得y與x的函數(shù)解析式；
（2）根據(jù)公司購(gòu)進(jìn)一種化工原料若干千克，價(jià)格為每千克30元，物價(jià)部門規(guī)定其銷售單價(jià)每千克不高于60元且不低于30元，和第一問(wèn)中求得的y與x的函數(shù)解析式，可以求得該公司銷售該原料日獲利w（元）與銷售單價(jià)x（元）之間的函數(shù)解析式；
（3）將第（2）問(wèn)中的函數(shù)解析式化為頂點(diǎn)式，然后根據(jù)二次項(xiàng)系數(shù)和對(duì)稱軸和x的取值范圍可以確定當(dāng)銷售單價(jià)為多少元時(shí)，該公司日獲利最大，最大利潤(rùn)是多少元．

解答 解；（1）由題意可得，設(shè)y與x的函數(shù)解析式是：y=kx+b，
∵當(dāng)x=60時(shí)，y=80，當(dāng)x=50時(shí)，y=100，
∴$\left\{\begin{array}{l}{60k+b=80}\\{50k+b=100}\end{array}\right.$，
解得k=-2，b=200．
即y與x的函數(shù)解析式是：y=-2x+200（30≤x≤60）；
（2）由題意可得，
w=（x-30）（-2x+200）=-2x²+260x-6000，
即該公司銷售該原料日獲利w（元）與銷售單價(jià)x（元）之間的函數(shù)解析式是：w=-2x²+260x-6000；
（3）∵w=-2x²+260x-6000
∴w=-2（x-65）²+2450
∴當(dāng)x＜65時(shí)，y隨x的增大而增大，
∵30≤x≤60，
∴當(dāng)x=60時(shí)，w取得最大值，此時(shí)w=-2（60-65）²+2450=2400（元），
即當(dāng)銷售單價(jià)為60元時(shí)，該公司日獲利最大，最大利潤(rùn)是2400元．

點(diǎn)評(píng) 本題考查二次函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是明確題意列出相應(yīng)的函數(shù)解析式，可以將二次函數(shù)解析式化為頂點(diǎn)式，根據(jù)函數(shù)圖象的性質(zhì)解答問(wèn)題．