Question

【題目】閱讀下面材料：如圖1，在平面直角坐標系xOy中，直線y1=ax+b與雙曲線y2= 交于A（1，3）和B（﹣3，﹣1）兩點，觀察圖象可知：①當x=﹣3或1時，y1=y2；②當﹣3＜x＜0或x＞1時，y1＞y2；即通過觀察函數(shù)的圖象，可以得到不等式ax+b＞ 的解集．
有這樣一個問題：求不等式x3+4x2﹣x﹣4＞0的解集．
艾斯柯同學類比以上知識的研究方法，用函數(shù)與方程的思想對不等式的解法進行了探究，請將他下面的②③④補充完整：
①當x=0時，原不等式不成立：當x＞0時，原不等式可以轉化為x2+4x﹣1＞ ；當x＜0時，原不等式可以轉化為x2+4x﹣1＜ ．
②構造函數(shù)，畫出圖象
設y3=x2+4x﹣1，y4= 在同一坐標系中分別畫出這兩個函數(shù)的圖象．
雙曲線y4= 如圖2所示，請在此坐標系中直接畫出拋物線y3=x2+4x﹣1（可不列表）；

③利用圖象，確定交點橫坐標
觀察所畫兩個函數(shù)的圖象，猜想并通過代入函數(shù)解析式驗證可知：滿足y3=y4的所有x的值為
④借助圖象，寫出解集
結合（1）的討論結果，觀察兩個函數(shù)的圖象可知：不等式x3+4x2﹣x﹣4＞0的解集為

Answer 1

【答案】﹣4＜x＜﹣1或x＞1
【解析】解：②y3=x2+4x﹣1對稱軸是x=﹣2，頂點坐標（﹣2，﹣5），且開口向上，與y軸交點的坐標分別是（0，﹣1），（0，﹣1）關于對稱軸的對稱點是（﹣4，﹣1）用三點法作拋物線如圖所示．
③觀察函數(shù)圖象可知：交點的橫坐標分別為﹣4，﹣1或1．當x=﹣4時，y3=x2+4x﹣1=﹣1，y4= =﹣1；
當x=﹣1時，y3=x2+4x﹣1=﹣4，y4= =﹣4；當x=1時，y3=x2+4x﹣1=4，y4= =4．
∴滿足y3=y4的所有x的值為：﹣4，﹣1 或1．所以答案是：﹣4，﹣1 或1．
④觀察函數(shù)圖象可知：當﹣4＜x＜﹣1時，二次函數(shù)y3=x2+4x﹣1的圖象在反比例函數(shù)y4= 的圖象的下方；當x＞1時，二次函數(shù)y3=x2+4x﹣1的圖象在反比例函數(shù)y4= 的圖象的上方，∴不等式x3+4x2﹣x﹣4＞0的解集為：﹣4＜x＜﹣1或x＞1．所以答案是：﹣4＜x＜﹣1或x＞1．
【考點精析】通過靈活運用反比例函數(shù)的圖象和二次函數(shù)的圖象，掌握反比例函數(shù)的圖像屬于雙曲線．反比例函數(shù)的圖象既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形．有兩條對稱軸：直線y=x和 y=-x．對稱中心是：原點；二次函數(shù)圖像關鍵點：1、開口方向2、對稱軸 3、頂點 4、與x軸交點 5、與y軸交點即可以解答此題．