Question

【題目】半徑為2cm的與⊙O邊長(zhǎng)為2cm的正方形ABCD在水平直線l的同側(cè)，⊙O與l相切于點(diǎn)F，DC在l上．

（1）過(guò)點(diǎn)B作的一條切線BE，E為切點(diǎn)．

①填空：如圖1，當(dāng)點(diǎn)A在⊙O上時(shí)，∠EBA的度數(shù)是 ；

②如圖2，當(dāng)E，A，D三點(diǎn)在同一直線上時(shí)，求線段OA的長(zhǎng)；

（1）以正方形ABCD的邊AD與OF重合的位置為初始位置，向左移動(dòng)正方形（圖3），至邊BC.與OF重合時(shí)結(jié)束移動(dòng)，M，N分別是邊BC，AD與⊙O的公共點(diǎn)，求扇形MON的面積的范圍.

Answer 1

【答案】（1）①30°；②OA=-1；（2）≤S扇形MON≤π．

【解析】

試題分析：①根據(jù)切線的性質(zhì)以及直角三角形的性質(zhì)得出∠EBA的度數(shù)即可；②利用切線的性質(zhì)以及矩形的性質(zhì)和相似三角形的判定和性質(zhì)得出,進(jìn)而求出OA即可；

（2）設(shè)∠MON=n°，得出S扇形MON=n,進(jìn)而利用函數(shù)增減性分析①當(dāng)N，M，A分別與D，B，O重合時(shí)，MN最大，②當(dāng)MN=DC=2時(shí)，MN最小，分別求出即可．

試題解析：（1）①∵半徑為2cm的與⊙O邊長(zhǎng)為2cm的正方形ABCD在水平直線l的同側(cè)，當(dāng)點(diǎn)A在⊙O上時(shí)，過(guò)點(diǎn)B作的一條切線BE，E為切點(diǎn)，∴OB=4，EO=2，∠OEB=90°，∴∠EBA的度數(shù)是：30°；

②如圖2，∵直線l與⊙O相切于點(diǎn)F，∴∠OFD=90°，∵正方形ADCB中，∠ADC=90°，

∴OF∥AD，∵OF=AD=2，∴四邊形OFDA為平行四邊形，∵∠OFD=90°，∴平行四邊形OFDA為矩形，∴DA⊥AO，∵正方形ABCD中，DA⊥AB，∴O，A，B三點(diǎn)在同一條直線上；∴EA⊥OB，∵∠OEB=∠OAE，

∴△EOA∽△BOE，∴，∴OE2=OAOB，解得：OA=-1±，∵OA＞0，∴OA=-1；

（2）如圖3，設(shè)∠MON=n°，

S扇形MON=（cm2）， S隨n的增大而增大，∠MON取最大值時(shí)，S扇形MON最大，當(dāng)∠MON取最小值時(shí)，S扇形MON最小，過(guò)O點(diǎn)作OK⊥MN于K，∴∠MON=2∠NOK，MN=2NK，

在Rt△ONK中，sin∠NOK=，∴∠NOK隨NK的增大而增大，∴∠MON隨MN的增大而增大，

∴當(dāng)MN最大時(shí)∠MON最大，當(dāng)MN最小時(shí)∠MON最小，

①當(dāng)N，M，A分別與D，B，O重合時(shí)，MN最大，MN=BD，∠MON=∠BOD=90°，S扇形MON最大=π（cm2），

②當(dāng)MN=DC=2時(shí)，MN最小，∴ON=MN=OM，∴∠NOM=60°，S扇形MON最小=（cm2）， ∴≤S扇形MON≤π．