Question

如圖，菱形ABCD中，∠B＝60º，點E在邊BC上，點F在邊CD上．

(1)如圖1，若E是BC的中點，∠AEF＝60º，求證：BE＝DF；

(2)如圖2，若∠EAF＝60º，求證：△AEF是等邊三角形．

Answer 1

【考點】菱形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；等邊三角形的判定．

【專題】證明題．

【分析】（1）首先連接AC，由菱形ABCD中，∠B=60°，根據(jù)菱形的性質(zhì)，易得△ABC是等邊三角形，又由三線合一，可證得AE⊥BC，繼而求得∠FEC=∠CFE，即可得EC=CF，繼而證得BE=DF；

（2）首先連接AC，可得△ABC是等邊三角形，即可得AB=AC，以求得∠ACF=∠B=60°，然后利用平行線與三角形外角的性質(zhì)，可求得∠AEB=∠AFC，證得△AEB≌△AFC，即可得AE=AF，證得：△AEF是等邊三角形．

【解答】證明：（1）連接AC，

∵菱形ABCD中，∠B=60°，

∴AB=BC=CD，∠C=180°-∠B=120°，

∴△ABC是等邊三角形，

∵E是BC的中點，

∴AE⊥BC，

∵∠AEF=60°，

∴∠FEC=90°-∠AEF=30°，

∴∠CFE=180°-∠FEC-∠C

=180°-30°-120°=30°，

∴∠FEC=∠CFE，

∴EC=CF，

∴BE=DF；

（2）連接AC，

∵四邊形ABCD是菱形，∠B=60°

∴AB=BC，∠D=∠B=60°，∠ACB=∠ACF，

∴△ABC是等邊三角形，

∴AB=AC，∠ACB=60°，

∴∠B=∠ACF=60°，

∵AD∥BC，

∴∠AEB=∠EAD=∠EAF+∠FAD=60°+∠FAD，

∠AFC=∠D+∠FAD=60°+∠FAD，

∴∠AEB=∠AFC，

在△ABE和△AFC中，

∠B=∠ACF ∠AEB=∠AFC AB=AC  

∴△ABE≌△ACF（AAS），

∴AE=AF，

∵∠EAF=60°，

∴△AEF是等邊三角形．

【點評】此題考查了菱形的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)以及等腰三角形的判定與性質(zhì)．此題難度適中，注意準確作出輔助線，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．