Question

【題目】小明發(fā)現(xiàn)相機(jī)快門打開(kāi)過(guò)程中，光圈大小變化如圖1所示，于是他繪制了如圖2所示的圖形．圖2中留個(gè)形狀大小都相同的四邊形圍成一個(gè)圓的內(nèi)接六邊形和一個(gè)小正六邊形，若PQ所在的直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)M，PB=5cm，小正六邊形的面積為cm2，則該圓的半徑為________cm．

Answer 1

【答案】8.

【解析】分析: 設(shè)兩個(gè)正六邊形的中心為O，連接OP,OB,過(guò)點(diǎn)O作OG⊥PM于點(diǎn)G，OH⊥AB于點(diǎn)H，如圖所示：很容易證出三角形PMN是一個(gè)等邊三角形，邊長(zhǎng)PM的長(zhǎng)，，而且面積等于小正六邊形的面積的， 故三角形PMN的面積很容易被求出，根據(jù)正六邊形的性質(zhì)及等腰三角形的三線和一可以得出PG的長(zhǎng)，進(jìn)而得出OG的長(zhǎng)，,在Rt△OPG中，根據(jù)勾股定理得 OP的長(zhǎng)，設(shè)OB為x，，根據(jù)正六邊形的性質(zhì)及等腰三角形的三線和一可以得出BH，OH的長(zhǎng)，進(jìn)而得出PH的長(zhǎng)，在Rt△PHO中，根據(jù)勾股定理得關(guān)于x的方程，求解得出x的值，從而得出答案.

詳解: 設(shè)兩個(gè)正六邊形的中心為O，連接OP,OB,過(guò)點(diǎn)O作OG⊥PM于點(diǎn)G，OH⊥AB于點(diǎn)H，如圖所示：

很容易證出三角形PMN是一個(gè)等邊三角形，邊長(zhǎng)PM=,而且面積等于小正六邊形的面積的，

故三角形PMN的面積為cm2，

∵OG⊥PM，且O是正六邊形的中心，

∴PG=PM=

∴OG=,

在Rt△OPG中，根據(jù)勾股定理得 ：OP2=OG2+PG2,即=OP2,

∴OP=7cm，

設(shè)OB為x，

∵OH⊥AB，且O是正六邊形的中心，

∴BH=X,OH=，

∴PH=5-x，

在Rt△PHO中，根據(jù)勾股定理得OP2=PH2+OH2,即;

解得：x1=8,x2=-3（舍）

故該圓的半徑為8cm.

故答案為:8.