Question

（1）如圖1，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分線相交于O．
①已知∠A=40°，求∠BOC的度數(shù)，∠A與∠BOC有怎樣的數(shù)量關(guān)系？
②若∠A=n°，則∠A與∠BOC有怎樣的數(shù)量關(guān)系？
（2）如圖2，在△A′B′C′中，∠A′B′C′的平分線與∠A′C′B′的外角平分線相交于O′，請你探索∠A′與∠O′有怎樣的數(shù)量關(guān)系？

Answer 1

解：（1）∠BOC=90°+∠A．理由如下：
∵∠BOC=180°-∠OBC-∠OCB，
∴2∠BOC=360°-2∠OBC-2∠OCB，
而BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，
∴∠ABC=2∠OBC，∠ACB=2∠OCB，
∴2∠BOC=360°-（∠ABC+∠ACB），
∵∠ABC+∠ACB=180°-∠A，
∴2∠BOC=180°+∠A，
∴∠BOC=90°+∠A．
①當(dāng)∠A=40°，∠BOC=110°；
②當(dāng)∠A=n°，∠BOC=90°+°

（2）∠B′O′C′=∠A′．理由如下：
∵∠O′C′E′=∠B′O′C′+∠O′B′C′，∠A′C′E′=∠A′B′C′+∠A′，
而B′O′平分∠A′B′C′，C′O′平分∠A′C′E′，
∴∠A′C′E′=2∠O′C′E′，∠A′B′C′=2∠O′B′C′，
∴2∠B′O′C′+2∠O′B′C′=∠A′B′C′+∠A′，
∴2∠B′O′C′=∠A′，
即∠B′O′C′=∠A′．
分析：（1）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得到∠BOC=180°-∠OBC-∠OCB，則2∠BOC=360°-2∠OBC-2∠OCB，再根據(jù)角平分線的定義得∠ABC=2∠OBC，∠ACB=2∠OCB，則2∠BOC=360°-∠ABC-∠ACB，易得∠BOC=90°+∠A．
（2）根據(jù)角平分線的定義得∠ACE=2∠OCE，∠ABC=2∠OBC，由三角形外角的性質(zhì)有∠OCE=∠BOC+∠OBC，∠ACE=∠ABC+∠A，則2∠BOC+2∠OBC=∠ABC+∠A，即可得到∠BOC=∠A；
點(diǎn)評：本題考查了三角形內(nèi)角和定理：三角形內(nèi)角和為180°．也考查了三角形外角的性質(zhì)以及角平分線的定義．