Question

如圖，在半徑為5的⊙O中，點(diǎn)A、B在⊙O上，∠AOB=90º，點(diǎn)C是AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，AC與OB的延長線相交于點(diǎn)D，設(shè)AC=，BD=．

（1）求關(guān)于的函數(shù)解析式，并寫出它的定義域；

（2）如果⊙與⊙O相交于點(diǎn)A、C，且⊙與⊙O的圓心距為2，當(dāng)BD=OB時(shí)，求⊙的半徑；

（3）是否存在點(diǎn)C，使得△DCB∽△DOC？如果存在，請證明；如果不存在，請簡要說明理由．

Answer 1

解：（1）過⊙O的圓心作OE⊥AC，垂足為E，

∴AE=，OE=．

∵∠DEO=∠AOB=90º，∴∠D =90º–∠EOD=∠AOE,∴△ODE∽△AOE.

∴,∵OD=,∴．

∴關(guān)于的函數(shù)解析式為：．

  定義域?yàn)椋?sub>．

（2）當(dāng)BD=OB時(shí)，，．

∴．

∴AE=，OE=．

當(dāng)點(diǎn)在線段OE上時(shí)，，

．

當(dāng)點(diǎn)在線段EO的延長線上時(shí)，，

．

的半徑為或．

（3）存在，當(dāng)點(diǎn)C為AB的中點(diǎn)時(shí)，△DCB∽△DOC．

證明如下：∵當(dāng)點(diǎn)C為AB的中點(diǎn)時(shí)，∠BOC=∠AOC=∠AOB=45º，

        又∵OA=OC=OB，∴∠OCA=∠OCB=，

∴∠DCB=180º–∠OCA–∠OCB=45º．）

∴∠DCB =∠BOC．又∵∠D=∠D，∴△DCB∽△DOC．

∴存在點(diǎn)C，使得△DCB∽△DOC．