Question

如圖，Rt△AEO和Rt△BFO關(guān)于直線y=-x成軸對稱，拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）經(jīng)過A（1，2）和B兩點．
（1）寫出B點坐標(biāo)；
（2）分別求出以a為自變量的b的函數(shù)關(guān)系式和c的函數(shù)關(guān)系式；
（3）若上述拋物線y=ax²+bx+c與y軸交于C點，△ABC的面積為3，求拋物線頂點M的坐標(biāo)；
（4）若對任意非零實數(shù)a，拋物線y=ax²+bx+c都不經(jīng)過P（x₀，x²₀+1），求出直線AP的函數(shù)解析式．

Answer 1

解：（1）∵Rt△AEO和Rt△BFO關(guān)于直線y=-x成軸對稱，
∴A，B關(guān)于直線y=-x成軸對稱，
∴AE=BF，OE=OF，
∵A點坐標(biāo)為：（1，2），
∴B點坐標(biāo)為：（-2，-1）；

（2）∵拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）經(jīng)過A（1，2）和B兩點．
∴將A，B兩點代入得：
，
∵4a-2b+c-（a+b+c）=-1，
∴b=a+1，
將b=a+1，代入a+b+c=0得，
∴c=1-2a；

（3）設(shè)AB與y軸交于D點，
∴CD=2a，或-2a．
∴×CD×2+×CD×1=3，
解得：a=1或-1，
∴b=2，c=-1，或b=0，c=3，
∴y=x²+2x-1=（x+1）²-2或y=-x²+3，
∴二次函數(shù)的頂點坐標(biāo)為：頂點M（-1，-2）或（0，3）；

（4）∵y=ax²+bx+c
=ax²+（a+1）x+（1-2a），
將（x₀，x²₀+1）代入方程得，
∴x²₀+1=ax₀²+（a+1）x₀+（1-2a），
∴（a-1）x₀²+（a+1）x₀-2a=0，
△=（3a-1）²＞0，若對任意非零實數(shù)a都不經(jīng)過P（x₀，x²₀+1）
則a=0時x₀=0，1，
∴P（0，1），P（1，2）（舍去）；
∴直線AP解析式為：y=x+1．
分析：（1）根據(jù)A，B關(guān)于直線y=-x成軸對稱，由A點坐標(biāo)即可得出B點坐標(biāo)；
（2）利用拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）經(jīng)過A（1，2）和B兩點．將A，B兩點代入求出a為自變量的b的函數(shù)關(guān)系式和c的函數(shù)關(guān)系式即可；
（3）設(shè)AB與y軸交于D點，得出CD=2a，或-2a，利用三角形面積求法得出×CD×2+×CD×1=3，即可求出a的值；
（4）由y=ax²+bx+c=ax²+（a+1）x+（1-2a），再將（x₀，x²₀+1）代入求出即可得出方程根的情況，進(jìn)而得出P點坐標(biāo)，求出解析式即可．
點評：此題主要考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用以及點關(guān)于直線對稱的性質(zhì)以及二次函數(shù)頂點坐標(biāo)求法等知識，利用圖形進(jìn)行分得出是解題關(guān)鍵，數(shù)形結(jié)合是這部分考查的重點，同學(xué)們應(yīng)重點掌握．