如圖,在△ABC中,點(diǎn)D在AC上,DA=DB,∠C=∠DBC,以AB為直徑的⊙O交AC于點(diǎn)E,F(xiàn)是⊙O上的點(diǎn),且AF=BF.
(1)求證:BC是⊙O的切線;
(2)若sinC=,AE=,求sinF的值和AF的長(zhǎng).

【答案】分析:(1)欲證BC是⊙O的切線,只需證明∠ABC=90°即可;
(2)如圖,連接BE,BF,構(gòu)建Rt△AEB和Rt△AFB.利用圓周角定理(同弧所對(duì)的圓周角相等)、等量代換以及切線的性質(zhì)推知所求的∠F與已知∠C的數(shù)量關(guān)系sin∠AFE=sin∠ABE=sinC;然后利用銳角三角函數(shù)的定義可以求得sinF的值和AF的長(zhǎng).
解答:解:(1)證明:∵DA=DB(已知),
∴∠DAB=∠DBA(等邊對(duì)等角);
又∵∠C=∠DBC(已知),
∴∠DBA﹢∠DBC=(∠DAB+∠DBA+∠C+∠DBC)=×180°=90°(三角形內(nèi)角和定理),即∠ABC=90°,
∴AB⊥BC,
又∵點(diǎn)B在⊙O上,
∴BC是⊙O的切線;

(2)如圖,連接BE,BF.
∵AB是⊙O的直徑(已知),
∴∠AEB=90°(直徑所對(duì)的圓周角是直角),
∴∠EBC+∠C=90°(直角三角形的兩個(gè)銳角互余),
∵∠ABC=90°(由(1)知),
∴∠ABE+∠EBC=90°,
∴∠C=∠ABE(等量代換);
又∵∠AFE=∠ABE(同弧所對(duì)的圓周角相等),
∴∠AFE=∠C(等量代換),
∴sin∠AFE=sin∠ABE=sinC,
∴sin∠AFE=,
∴∠AFB=90°,
在Rt△ABE中,AB==5
∵AF=BF(已知),
∴AF=BF=5.
點(diǎn)評(píng):本題考查了切線的判定與性質(zhì)、圓周角定理以及解直角三角形.要證某線是圓的切線,已知此線過(guò)圓上某點(diǎn),連接圓心與這點(diǎn)(即為半徑),再證垂直即可.
練習(xí)冊(cè)系列答案
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75
度.

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A、
1
2
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2
2
7
C、
1
4
D、
1
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2、如圖,在△ABC中,DE∥BC,那么圖中與∠1相等的角是( �。�

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16
cm.

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同步練習(xí)冊(cè)答案
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