Question

【題目】如圖，在△ABC中，∠B=90°，AB=8厘米，BC=6厘米，P、Q是△ABC邊上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，其中點(diǎn)P從點(diǎn)A開(kāi)始沿A→B方向運(yùn)動(dòng)速度為1厘米/秒，點(diǎn)Q從點(diǎn)B開(kāi)始沿B→C→A方向運(yùn)動(dòng)速度為2厘米/秒，若它們同時(shí)出發(fā)，設(shè)出發(fā)的時(shí)間為t秒．

（1）求出發(fā)2秒后，PQ的長(zhǎng)；

（2）點(diǎn)Q在CA邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)，當(dāng)△BCQ成為等腰三角形時(shí)，求點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)時(shí)間．

Answer 1

【答案】（1）厘米；（2）當(dāng)t為5.5秒或6秒或6.6秒時(shí)，△BCQ為等腰三角形．

【解析】

（1）運(yùn)動(dòng)2秒后，根據(jù)P、Q運(yùn)動(dòng)速度可知道運(yùn)動(dòng)的路程BQ和AP長(zhǎng)，在Rt△QBP中，利用勾股定理即可求出PQ．

（2）已知點(diǎn)Q在CA邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)，若△BCQ成為等腰三角形，可分三種情況討論，即CQ=BQ，CQ=BC，BC=BQ，得出點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)的路程，已知速度即可求出運(yùn)動(dòng)時(shí)間，在直角三角形中可利用勾股定理求解．

（1）BQ=2×2=4cm，

BP=AB﹣AP=8﹣2×1=6cm．

∵∠B=90°，

PQ=(cm)；

故答案為：厘米

（2）分三種情況：

①當(dāng)CQ=BQ時(shí)，如圖1所示：

則∠C=∠CBQ．

∵∠ABC=90°，

∴∠CBQ+∠ABQ=90°，

∵∠A+∠C=90°，

∴∠A=∠ABQ

∴BQ=AQ，

∴BQ是Rt△ABC斜邊上的中線

∵AC=

∴CQ=AQ=5，

∴BC+CQ=11，

∴t=11÷2=5.5秒．

②當(dāng)CQ=BC時(shí)，如圖2所示：

則BC+CQ=12

∴t=12÷2=6秒．

③當(dāng)BC=BQ時(shí)，如圖3所示：

過(guò)B點(diǎn)作BE⊥AC于點(diǎn)E，

則BE(cm)

∴CE=cm，

∴CQ=2CE=7.2cm，

∴BC+CQ=13.2cm，

∴t=13.2÷2=6.6秒．

綜上所述，當(dāng)t為5.5秒或6秒或6.6秒時(shí)，

△BCQ為等腰三角形．