Question

6．如圖，在△ABC中，∠C=90°，∠ABC的平分線交AC于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)E作BE的垂線交AB于點(diǎn)F，⊙O是△BEF的外接圓．
（1）求證：AC是⊙O的切線；
（2）過(guò)點(diǎn)E作EH⊥AB，垂足為H，求證：CD=HF；
（3）若CD=1，EH=3，求BF及AF長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）連接OE，由于BE是角平分線，則有∠CBE=∠OBE；而OB=OE，就有∠OBE=∠OEB，等量代換有∠OEB=∠CBE，那么利用內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行，可得OE∥BC；又∠C=90°，所以∠AEO=90°，即AC是⊙O的切線；
（2）連結(jié)DE，先根據(jù)AAS證明△CDE≌△HFE，再由全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等即可得出CD=HF．
（3）先證得△EHF∽△BEF，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求得BF=10，進(jìn)而根據(jù)直角三角形斜邊中線的性質(zhì)求得OE=5，進(jìn)一步求得OH，然后解直角三角形即可求得OA，得出AF．

解答 證明：（1）如圖，連接OE．
∵BE⊥EF，
∴∠BEF=90°，
∴BF是圓O的直徑．
∵BE平分∠ABC，
∴∠CBE=∠OBE，
∵OB=OE，
∴∠OBE=∠OEB，
∴∠OEB=∠CBE，
∴OE∥BC，
∴∠AEO=∠C=90°，
∴AC是⊙O的切線；

（2）如圖，連結(jié)DE．
∵∠CBE=∠OBE，EC⊥BC于C，EH⊥AB于H，
∴EC=EH．
∵∠CDE+∠BDE=180°，∠HFE+∠BDE=180°，
∴∠CDE=∠HFE．
在△CDE與△HFE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠CDE=∠HFE}\\{∠C=∠EHF=90°}\\{EC=EH}\end{array}\right.$，
∴△CDE≌△HFE（AAS），
∴CD=HF．

（3）由（2）得CD=HF，又CD=1，
∴HF=1，
在Rt△HFE中，EF=$\sqrt{{3}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{10}$，
∵EF⊥BE，
∴∠BEF=90°，
∴∠EHF=∠BEF=90°，
∵∠EFH=∠BFE，
∴△EHF∽△BEF，
∴$\frac{EF}{BF}$=$\frac{HF}{EF}$，即$\frac{\sqrt{10}}{BF}$=$\frac{1}{\sqrt{10}}$，
∴BF=10，
∴OE=$\frac{1}{2}$BF=5，OH=5-1=4，
∴Rt△OHE中，cos∠EOA=$\frac{4}{5}$，
∴Rt△EOA中，cos∠EOA=$\frac{OE}{OA}$=$\frac{4}{5}$，
∴$\frac{5}{OA}$=$\frac{4}{5}$，
∴OA=$\frac{25}{4}$，
∴AF=$\frac{25}{4}$-5=$\frac{5}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了切線的判定，全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形相似的判定和性質(zhì)以及解直角三角形等．要證某線是圓的切線，已知此線過(guò)圓上某點(diǎn)，連接圓心與這點(diǎn)（即為半徑），再證垂直即可．