Question

已知：如圖，在△ABC中，∠B=90°，∠ACB=30°，AB=2，AD=2AC，DC=2BC．
（1）求證：△ACD為直角三角形；
（2）求四邊形ABCD的面積．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)勾股定理求出BC的長度，再根據(jù)勾股定理逆定理計算出△ACD為直角三角形；
（2）根據(jù)四邊形ABCD的面積=△ABC的面積+△ACD的面積，列式進(jìn)行計算即可得解．

解答：（1）證明：在Rt△ABC中，∵∠ACB=30°，AB=2，
∴AC=2AB=4（在直角三角形中，如果一個銳角等于30°，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半）．…（1分）
在Rt△ABC中，∵∠B=90°
∴BC²+AB²=AC²（勾股定理）…（1分）
得 BC=

AC2-AB2

=2

3

．…（1分）
∵AD=2AC，DC=2BC，
∴AD=8，DC=4

3

．…（2分）
∴AC²+CD²=16+48=64，AD²=64
∴AD²=AC²+CD²．                …（1分）
因此，△ACD為直角三角形，∠ACD=90°（勾股定理逆定理）．…（1分）

（2）解：∵S_{四邊形ABCD}=S_△ABC+S_△ACD，…（1分）
∴S四邊形ABCD=

1

2

×2×2

3

+

1

2

×4×4

3

=10

3

．…（1分）
【說明】括號內(nèi)注明理由的不寫要扣分，一個（1分）．

點評：本題考查了勾股定理，勾股定理逆定理，證明△ACD為直角三角形是解題的關(guān)鍵．