【答案】
分析:運用一元二次方程求根公式,以及根的判別式與完全平方數(shù)可知,①②③正確,利用數(shù)據(jù)的奇偶性得出方程根的情況.
解答:解:①整系數(shù)方程ax
2+bx+c=0(a≠0)中,若△為一個完全平方數(shù),則方程必有有理根;
∵方程的根為x=
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,只有△為一個完全平方數(shù),x才是有理數(shù),所以方程必有有理根.故:①正確;
②整系數(shù)方程ax
2+bx+c=0(a≠0)中,若方程有有理數(shù)根,則△為完全平方數(shù);
∵方程的根為x=
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,方程若有有理根,只有△能夠開完全平方,方程有有理數(shù)根.
故:②正確;
③無理數(shù)系數(shù)方程:
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x-2
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x+
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=0的解是x=1,是有理數(shù)故:③錯誤.
④證明:
設(shè)方程有一個有理數(shù)根
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(m,n是互質(zhì)的整數(shù)).
那么a(
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)
2+b(
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)+c=0,即an
2+bmn+cm
2=0.
把m,n按奇數(shù)、偶數(shù)分類討論,
∵m,n互質(zhì),∴不可能同為偶數(shù).
①當(dāng)m,n同為奇數(shù)時,則an
2+bmn+cm62是奇數(shù)+奇數(shù)+奇數(shù)=奇數(shù)≠0;
②當(dāng)m為奇數(shù),n為偶數(shù)時,an
2+bmn+cm
2是偶數(shù)+偶數(shù)+奇數(shù)=奇數(shù)≠0;
③當(dāng)m為偶數(shù),n為奇數(shù)時,an
2+bmn+cm
2是奇數(shù)+偶數(shù)+偶數(shù)=奇數(shù)≠0.
綜上所述 不論m,n取什么整數(shù),等式a(
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)
2+b(
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)+c=0都不成立.
即假設(shè)方程有一個有理數(shù)根是不成立的.
∴當(dāng)a,b,c都是奇數(shù)時,方程ax
2+bx+c=0(a≠0)沒有有理數(shù)根
故:④正確
故填:①②④.
點評:此題主要考查了一元二次方程整數(shù)根的求法以及完全平方數(shù)和數(shù)據(jù)的奇偶性,題目難度不大.