Question

如圖，若⊙O₁與⊙O₂外切于點A，BC是⊙O₁與⊙O₂的外公切線，B、C為切點．

　　(1)求證：AB⊥AC；

　　(2)如圖，若⊙O₁與⊙O₂外離時，連心線O₁O₂與⊙O₁和⊙O₂相交于M、N，BM、CN的延長線交于點A，則BA與CA是否垂直?請證明你的結(jié)論．

　　(3)若將上圖中的⊙O₁向右移動，使⊙O₁與⊙O₂相交(如下圖)，是否還有與(2)相應(yīng)的結(jié)論?請畫出相應(yīng)的圖形，并說明理由．

 

Answer 1

答案：
解析：

(1)證明：過點A作⊙O1與⊙O2的內(nèi)公切線AD交BC于D．因為BC是兩圓的公切線，切點為B、C，所以DA=DB=DC，所以AC⊥AB． (2)AB⊥AC成立． 證明：連結(jié)O1B、O2C． ∵　BC為⊙O1與⊙O2的外公切線，∴　O1B⊥BC，O2C⊥BC． ∴　O1B∥O2C．∴　∠O1+∠O2=180°． 又∵　∠CBA= ∠O1，∠BCA=∠O2， ∴　∠CBA+∠BCA=(∠O1+∠O2)=90°． ∴　AB⊥AC． (3)結(jié)論仍成立，即AB⊥AC． 證明：連結(jié)O1B、O2C，則有O1B⊥BC，O2C⊥BC． ∴　O1B∥O2C．∴　∠O1+∠O2=180°． 又∵　∠CBA=∠O1，∠BCA=∠O2． ∴　∠CBA+∠BCA=(∠O1+∠O2)=90°． ∴　AB⊥AC

提示：

本題是圓的平移結(jié)論不變問題．解決問題的方法：(1)是根據(jù)特殊的位置關(guān)系，采用特殊的證法，實質(zhì)上(2)、(3)的證法也適用于(1)．解(3)的關(guān)鍵是準(zhǔn)確畫出圖形，找準(zhǔn)對應(yīng)點．本題有“三不變”：結(jié)論不變，輔助線連法不變，證題方法不變．