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(2005•沈陽)如圖1,△ABC內(nèi)接于⊙O,AD平分∠BAC,交直線BC于點E,交⊙O于點D.
(1)過點D作MN∥BC,求證:MN是⊙O切線;
(2)求證:AB•AC=AD•AE;
(3)如圖2,AE平分∠BAC的外角∠FAC,交BC的延長線于點E,EA的延長線交⊙O于點D.結(jié)論AB•AC=AD•AE是否仍然成立?如果成立,請寫出證明過程;如果不成立,請說明理由.

【答案】分析:(1)要想證MN是⊙O的切線,只要連接OD,求證OD⊥MN即可.
(2)欲證AB•AC=AD•AE,只需連接CD,AD平分∠BAC知∠BAD=∠CAD,圓周角知∠B=∠D,證明△ABE∽△ADC得出比例關(guān)系即可;
(3)欲證AB•AC=AD•AE,證明△AEC∽△ABD即可.
解答:證明:(1)連接OD交BC于點H,
∵AD平分∠BAC,

∴OD⊥BC于H.
∵BC∥MN,
∴OD⊥MN于點D.
∴MN是⊙O的切線.

(2)連接CD,
∵∠ABE=∠ADC,∠BAE=∠CAD,
∴△ABE∽△ADC.

∴AB•AC=AD•AE.

(3)結(jié)論AB•AC=AD•AE仍然成立.
連接BD,
∵AE平分∠FAC,
∴∠FAE=∠CAE.
∴∠CAE=∠FAE=∠BAD.
∵四邊形ADBC是圓內(nèi)接四邊形,
∴∠ACE=∠BDA.
∴△AEC∽△ABD.

∴AB•AC=AD•AE.
點評:本題考查的是切線的判定,要證某線是圓的切線,已知此線過圓上某點,連接圓心和這點(即為半徑),再證垂直即可.乘積的形式通�?梢赞D(zhuǎn)化為比例的形式,通過相似三角形的性質(zhì)得出.
練習(xí)冊系列答案
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(1)分別求出直線AB及雙曲線的解析式;
(2)求出點D的坐標(biāo);
(3)利用圖象直接寫出:當(dāng)x在什么范圍內(nèi)取值時,y1>y2?

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(1)求折痕CE所在直線的解析式;
(2)求點D的坐標(biāo);
(3)設(shè)點M為直線CE上的一點,過點M作AC的平行線,交y軸于點N,是否存在這樣的點M,使得以M、N、D、C為頂點的四邊形是平行四邊形?若存在,請求出符合條件的點M的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.

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(1)分別求出直線AB及雙曲線的解析式;
(2)求出點D的坐標(biāo);
(3)利用圖象直接寫出:當(dāng)x在什么范圍內(nèi)取值時,y1>y2?

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(1)求折痕CE所在直線的解析式;
(2)求點D的坐標(biāo);
(3)設(shè)點M為直線CE上的一點,過點M作AC的平行線,交y軸于點N,是否存在這樣的點M,使得以M、N、D、C為頂點的四邊形是平行四邊形?若存在,請求出符合條件的點M的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.

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(1)分別求出直線AB及雙曲線的解析式;
(2)求出點D的坐標(biāo);
(3)利用圖象直接寫出:當(dāng)x在什么范圍內(nèi)取值時,y1>y2?

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