Question

如圖，在△ABC中，AD平分∠BAC.

（1）若AC=BC，∠B︰∠C=2︰1，試寫出圖中的所有等腰三角形，并給予證明．

（2）若ABBD＝AC，求∠B︰∠C 的比值．

 

Answer 1

（1）（△ABC證明1分，△ABD和△ADC的證明各3分，本小題共7分）

等腰三角形有3個：△ABC，△ABD，△ADC （只寫出沒有任何證明，1個給1分）

證明：∵AC=BC

∴△ABC是等腰三角形--------------1分

∴∠B=∠BAC--------------2分

∵∠B︰∠C=2︰1

∠B+∠BAC+∠C=180°

∴∠B=∠BAC=72°，∠C=36°--------------4分

∵∠BAD=∠DAC=∠BAC=36°

∴∠B=∠ADB=72°, ∠DAC=∠C=36°--------------6分

∴△ABD和△ADC是等腰三角形--------------7分

（2）方法1：在AC上截取AE=AB,連接DE-------------1分

又∠BAD=∠DAE，AD＝AD

∴△ABD≌△ADE-------------2分

∴∠AED=∠B ， BD＝DE

∵AB＋BD＝AC

∴BD＝EC

∴DE＝EC -------------4分

∴∠EDC=∠C

∴∠B=∠AED=∠EDC+∠C=2∠C

即∠B︰∠C=2︰1--------------5分

 

方法2：延長AB到E，使AE=AC連接DE

證明△ADE≌△ADC

再類似證明得到∠B=2∠AED=2∠C

利用“截長法”或“補短法”添加輔助線，將 AC－AB或AB＋BD轉(zhuǎn)化成一條線段