Question

【題目】如圖，已知拋物線與軸交于兩點(A點在B點的左邊)，與軸交于點．

（1）如圖1，若△ABC為直角三角形，求的值；

（2）如圖1，在（1）的條件下，點在拋物線上，點在拋物線的對稱軸上，若以為邊，以點、、、Q為頂點的四邊形是平行四邊形，求點的坐標；

（3）如圖2，過點作直線的平行線交拋物線于另一點，交軸于點，若﹕=1﹕4． 求的值．

Answer 1

【答案】(1) ；(2) 和；(3)

【解析】

（1）設，，再根據(jù)根與系數(shù)的關系得到，根據(jù)勾股定理得到：、 ，根據(jù)列出方程，解方程即可；（2）求出A、B坐標，設出點Q坐標，利用平行四邊形的性質(zhì)，分類討論點P坐標，利用全等的性質(zhì)得出P點的橫坐標后，分別代入拋物線解析式，求出P點坐標;

(3)過點作DH⊥軸于點,由::，可得::．設,可得 點坐標為，可得．設點坐標為.可證△∽△,利用相似性質(zhì)列出方程整理可得到 ①,將代入拋物線上,可得②，聯(lián)立①②解方程組，即可解答.

解：設，，則是方程的兩根，

∴．

∵已知拋物線與軸交于點．

∴

在△中：，在△中：，

∵△為直角三角形，由題意可知∠°，

∴，

即，

∴,

∴,

解得:,

又,

∴．

由可知：,令則,

∴,

∴．

①以為邊，以點、、、Q為頂點的四邊形是四邊形時,

設拋物線的對稱軸為 ，l與交于點，過點作⊥l，垂足為點，

即∠°∠．

∵四邊形為平行四邊形,

∴∥,又l∥軸,

∴∠∠=∠,

∴△≌△,

∴,

∴點的橫坐標為,

∴

即點坐標為．

②當以為邊，以點、、、Q為頂點的四邊形是四邊形時，

設拋物線的對稱軸為 ，l與交于點，過點作⊥l，垂足為點，

即∠°∠．

∵四邊形為平行四邊形,

∴∥,又l∥軸,

∴∠∠=∠,

∴△≌△,

∴,

∴點的橫坐標為,

∴

即點坐標為

∴符合條件的點坐標為和．

過點作DH⊥軸于點,

∵::，

∴::．

設,則點坐標為,

∴．

∵點在拋物線上,

∴點坐標為,

由(1)知,

∴,

∵∥,

∴△∽△,

∴,

∴,

即①,

又在拋物線上,

∴②，

將代入①得：,

解得(舍去),

把代入②得:．