Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系xOy中，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，A(1，0)，B(0，2)，二次函數y＝x2+bx﹣2的圖象經過C點．

(1)求二次函數的解析式；

(2)平移該二次函數圖象的對稱軸所在直線l，若直線l恰好將△ABC的面積分為1：2兩部分，請求出此時直線l與x軸的交點坐標；

(3)將△ABC以AC所在直線為對稱軸翻折180°，得到△AB′C，那么在二次函數圖象上是否存在點P，使△PB′C是以B′C為直角邊的直角三角形？若存在，請求出P點坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】(1)y＝x2-x﹣2；(2)直線l與x軸的交點坐標為(1，0)或(3﹣，0)；(3)點P的坐標為：(﹣，)或(﹣1，﹣1)或(，﹣)．

【解析】

（1）過點C作CD⊥x軸于點D，根據△AOB≌△CDA求出CD、OD得出C（3，1），再代入拋物線即可.

（2）先求出S△ABC，求出直線BC的解析式為，同理求得直線AC、AB的解析式，設直線l與x軸交點坐標為（x，0），設直線l與BC、AC分別交于點F、E，根據，得出，求出x即可，設直線l與BC、AB分別交于點F、E，根據，得出 求出x即可.

（3）延長CB交拋物線于點P3，過點B′作B′P1⊥BC，交拋物線于點P1、P2，設直線B′P1的解析式為：，過點B′作B′M⊥x軸于點M，根據△AOB≌△AMB′求出B′的坐標，得出直線B′P1的解析式為：，再根據得出P1、P2的坐標，根據 得出P3的坐標．

解：（1）如圖1所示，

過點C作CD⊥x軸于點D，則∠CAD+∠ACD=90°．

∵△ABC是等腰直角三角形，

∴AB=AC，∠BAC=90°，

∴∠OAB+∠CAD=90°，

∴∠OAB=∠ACD，

∵∠BOA=∠ADC=90°，

在△AOB和△CDA中，

，

∴△AOB≌△CDA（AAS）．

∴CD=OA=1，AD=OB=2，

∴OD=OA+AD=3，

∴C（3，1）．

∵點C（3，1）在拋物線，

∴解得：b=，

∴拋物線的解析式為：.

（2）在Rt△AOB中，
∵OA=1，OB=2，
∴AB=，

∴.

設直線BC的解析式為y=kx+b，
∵B（0，2），C（3，1），

∴ ，

解得k=，b=2，
∴.

同理求得直線AC的解析式為：，

直線AB的解析式為：y=-2x+2，
設直線l與x軸交點坐標為（x，0）
如圖2：設直線l與BC、AC分別交于點F、E，則EF=.

△CEF中，EF邊上的高h=OD-x=3-x．
由題意得：，

即：，

∴，

解得x1=，x2=（不合題意，舍去），

如圖3：

設直線l與BC、AB分別交于點F、E，

則EF=

△BEF中，EF邊上的高h=x．
由題意得：.

即：.

解得x1=1，x2=-1（不合題意，舍去）
當直線l與x軸交點坐標為（1，0）或（，0）時，恰好將△ABC的面積分為1：2的兩部分，
（3）存在．
如圖4，

延長CB交拋物線于點P3，過點B′作B′P1⊥BC，交拋物線于點P1、P2，

則CB∥B′P1，
設直線B′P1的解析式為：，

過點B′作B′M⊥x軸于點M，
在△AOB和△AMB′中，

，

∴△AOB≌△AMB′（AAS），

∴B′M=BO=2，
AM=AO=1，

∴B′的坐標為（2，-2），

∴，

∴b=，

∴直線B′P1的解析式為：y=

由 得 或 ，

∴P1的坐標是（-1，-1），P2的坐標是 ，

∵∠ACB=∠ACB′=45°，
∴∠B′CP3=90°，

由 得： （舍去），或 ，

∴P3的坐標是 ，

∴P點坐標是P1（-1，-1），P2，P3.